Solucionar =20x^4+31x^2-9

$$= 20 x ^ { 4 } + 31 x ^ { 2 } - 9$$

Factorizar

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Pasos de la solución

Para factorizar la expresión, resuelva la ecuación donde sea igual a 0.

$$20x^{4}+31x^{2}-9=0$$

Por Teorema de raíz racional, todas las raíces racionales de un polinomio tienen el formato \frac{p}{q}, donde p divide el término constante -9 y q divide el 20 del coeficiente inicial. Enumerar todos los candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{20},±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{20},±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{20},±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Busque una de estas raíces probando con todos los números enteros, empezando por el valor absoluto más pequeño. Si no encuentra ninguna raíz con número entero, pruebe con fracciones.

$$x=\frac{1}{2}$$

Por factor teorema, x-k es un factor del polinómico para cada k raíz. Divide 20x^{4}+31x^{2}-9 entre 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 para obtener 10x^{3}+5x^{2}+18x+9. Para factorizar el resultado, resuelva la ecuación donde sea igual a 0.

$$10x^{3}+5x^{2}+18x+9=0$$

Por Teorema de raíz racional, todas las raíces racionales de un polinomio tienen el formato \frac{p}{q}, donde p divide el término constante 9 y q divide el 10 del coeficiente inicial. Enumerar todos los candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{2},±1$$

Busque una de estas raíces probando con todos los números enteros, empezando por el valor absoluto más pequeño. Si no encuentra ninguna raíz con número entero, pruebe con fracciones.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Por factor teorema, x-k es un factor del polinómico para cada k raíz. Divide 10x^{3}+5x^{2}+18x+9 entre 2\left(x+\frac{1}{2}\right)=2x+1 para obtener 5x^{2}+9. Para factorizar el resultado, resuelva la ecuación donde sea igual a 0.

$$5x^{2}+9=0$$

Todas las ecuaciones del formulario ax^{2}+bx+c=0 pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sustituya 5 por a, 0 por b y 9 por c en la fórmula cuadrática.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Haga los cálculos.

$$x=\frac{0±\sqrt{-180}}{10}$$

El polinomio 5x^{2}+9 no se factoriza porque no tiene ninguna raíz racional.

$$5x^{2}+9$$

Vuelva a escribir la expresión factorizada con las raíces obtenidas.

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Calcular

$$20x^{4}+31x^{2}-9$$