Løs z^2-3z+4/4=0

$$z ^ { 2 } - 3 z + \frac { 4 } { 4 } = 0$$

Løs for z

$$z = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2,618033989$$

$$z=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0,381966011$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$z^{2}-3z+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -3 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4}}{2}$$

Kvadrér -3.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4}}{2}$$

Adder 9 til -4.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{5}}{2}$$

Det modsatte af -3 er 3.

$$z=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, z=\frac{3±\sqrt{5}}{2} når ± er plus. Adder 3 til \sqrt{5}.

$$z=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, z=\frac{3±\sqrt{5}}{2} når ± er minus. Subtraher \sqrt{5} fra 3.

$$z=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$z=\frac{\sqrt{5}+3}{2} z=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$z^{2}-3z+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$z^{2}-3z+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$z^{2}-3z=-1$$

Divider -3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$z^{2}-3z+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$z^{2}-3z+\frac{9}{4}=-1+\frac{9}{4}$$

Adder -1 til \frac{9}{4}.

$$z^{2}-3z+\frac{9}{4}=\frac{5}{4}$$

Faktor z^{2}-3z+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(z-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(z-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Forenkling.

$$z-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} z-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Adder \frac{3}{2} på begge sider af ligningen.

$$z=\frac{\sqrt{5}+3}{2} z=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$