Løs z^2-2iz+3=0

$$z ^ { 2 } - 2 i z + 3 = 0$$

Løs for z

$$z=3i$$

$$z=-i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$z^{2}-2iz+3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -2i med b og 3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{2i±\sqrt{\left(-2i\right)^{2}-4\times 3}}{2}$$

Kvadrér -2i.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-4-4\times 3}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-4-12}}{2}$$

Adder -4 til -12.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-16}}{2}$$

Tag kvadratroden af -16.

$$z=\frac{2i±4i}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, z=\frac{2i±4i}{2} når ± er plus. Adder 2i til 4i.

$$z=\frac{6i}{2}$$

Divider 6i med 2.

$$z=3i$$

Nu skal du løse ligningen, z=\frac{2i±4i}{2} når ± er minus. Subtraher 4i fra 2i.

$$z=\frac{-2i}{2}$$

Divider -2i med 2.

$$z=-i$$

Ligningen er nu løst.

$$z=3i z=-i$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$z^{2}-2iz+3=0$$

Subtraher 3 fra begge sider af ligningen.

$$z^{2}-2iz+3-3=-3$$

Hvis 3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$z^{2}-2iz=-3$$

Divider -2i, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -i. Adder derefter kvadratet af -i på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$z^{2}-2iz+\left(-i\right)^{2}=-3+\left(-i\right)^{2}$$

Kvadrér -i.

$$z^{2}-2iz-1=-3-1$$

Adder -3 til -1.

$$z^{2}-2iz-1=-4$$

Faktor z^{2}-2iz-1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(z-i\right)^{2}=-4$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(z-i\right)^{2}}=\sqrt{-4}$$

Forenkling.

$$z-i=2i z-i=-2i$$

Adder i på begge sider af ligningen.

$$z=3i z=-i$$