Løs z^2+3z-30=(2z+5)(z+6)

$$z ^ { 2 } + 3 z - 30 = ( 2 z + 5 ) ( z + 6 )$$

Løs for z

$$z=-\sqrt{11}i-7\approx -7-3,31662479i$$

$$z=-7+\sqrt{11}i\approx -7+3,31662479i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2z+5 med z+6, og kombiner ens led.

$$z^{2}+3z-30=2z^{2}+17z+30$$

Subtraher 2z^{2} fra begge sider.

$$z^{2}+3z-30-2z^{2}=17z+30$$

Kombiner z^{2} og -2z^{2} for at få -z^{2}.

$$-z^{2}+3z-30=17z+30$$

Subtraher 17z fra begge sider.

$$-z^{2}+3z-30-17z=30$$

Kombiner 3z og -17z for at få -14z.

$$-z^{2}-14z-30=30$$

Subtraher 30 fra begge sider.

$$-z^{2}-14z-30-30=0$$

Subtraher 30 fra -30 for at få -60.

$$-z^{2}-14z-60=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, -14 med b og -60 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-60\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér -14.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-60\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+4\left(-60\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -60.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-240}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 196 til -240.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-44}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af -44.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

Det modsatte af -14 er 14.

$$z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{-2} når ± er plus. Adder 14 til 2i\sqrt{11}.

$$z=\frac{14+2\sqrt{11}i}{-2}$$

Divider 14+2i\sqrt{11} med -2.

$$z=-\sqrt{11}i-7$$

Nu skal du løse ligningen, z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{-2} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{11} fra 14.

$$z=\frac{-2\sqrt{11}i+14}{-2}$$

Divider 14-2i\sqrt{11} med -2.

$$z=-7+\sqrt{11}i$$

Ligningen er nu løst.

$$z=-\sqrt{11}i-7 z=-7+\sqrt{11}i$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2z+5 med z+6, og kombiner ens led.

$$z^{2}+3z-30=2z^{2}+17z+30$$

Subtraher 2z^{2} fra begge sider.

$$z^{2}+3z-30-2z^{2}=17z+30$$

Kombiner z^{2} og -2z^{2} for at få -z^{2}.

$$-z^{2}+3z-30=17z+30$$

Subtraher 17z fra begge sider.

$$-z^{2}+3z-30-17z=30$$

Kombiner 3z og -17z for at få -14z.

$$-z^{2}-14z-30=30$$

Tilføj 30 på begge sider.

$$-z^{2}-14z=30+30$$

Tilføj 30 og 30 for at få 60.

$$-z^{2}-14z=60$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-z^{2}-14z}{-1}=\frac{60}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$z^{2}+\left(-\frac{14}{-1}\right)z=\frac{60}{-1}$$

Divider -14 med -1.

$$z^{2}+14z=\frac{60}{-1}$$

Divider 60 med -1.

$$z^{2}+14z=-60$$

Divider 14, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få 7. Adder derefter kvadratet af 7 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$z^{2}+14z+7^{2}=-60+7^{2}$$

Kvadrér 7.

$$z^{2}+14z+49=-60+49$$

Adder -60 til 49.

$$z^{2}+14z+49=-11$$

Faktor z^{2}+14z+49. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(z+7\right)^{2}=-11$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(z+7\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

Forenkling.

$$z+7=\sqrt{11}i z+7=-\sqrt{11}i$$

Subtraher 7 fra begge sider af ligningen.

$$z=-7+\sqrt{11}i z=-\sqrt{11}i-7$$