Løs z^2+3z-10=0

$$z ^ { 2 } + 3 z - 10 = 0$$

Løs for z

$$z=-5$$

$$z=2$$

Vejledning i faktorisering

Faktor z^{2}+3z-10 ved hjælp af formel z^{2}+\left(a+b\right)z+ab=\left(z+a\right)\left(z+b\right) for at løse ligningen. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=3 ab=-10$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -10.

$$-1,10 -2,5$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Løsningen er det par, der får summen 3.

$$a=-2 b=5$$

Omskriv det faktoriserede udtryk \left(z+a\right)\left(z+b\right) ved hjælp af de opnåede værdier.

$$\left(z-2\right)\left(z+5\right)$$

Løs z-2=0 og z+5=0 for at finde Lignings løsninger.

$$z=2 z=-5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som z^{2}+az+bz-10. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -10.

$$-1,10 -2,5$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Løsningen er det par, der får summen 3.

$$a=-2 b=5$$

Omskriv z^{2}+3z-10 som \left(z^{2}-2z\right)+\left(5z-10\right).

$$\left(z^{2}-2z\right)+\left(5z-10\right)$$

Udz i den første og 5 i den anden gruppe.

$$z\left(z-2\right)+5\left(z-2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet z-2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(z-2\right)\left(z+5\right)$$

Løs z-2=0 og z+5=0 for at finde Lignings løsninger.

$$z=2 z=-5$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$z^{2}+3z-10=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, 3 med b og -10 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-10\right)}}{2}$$

Kvadrér 3.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-10\right)}}{2}$$

Multiplicer -4 gange -10.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2}$$

Adder 9 til 40.

$$z=\frac{-3±\sqrt{49}}{2}$$

Tag kvadratroden af 49.

$$z=\frac{-3±7}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, z=\frac{-3±7}{2} når ± er plus. Adder -3 til 7.

$$z=\frac{4}{2}$$

Divider 4 med 2.

$$z=2$$

Nu skal du løse ligningen, z=\frac{-3±7}{2} når ± er minus. Subtraher 7 fra -3.

$$z=-\frac{10}{2}$$

Divider -10 med 2.

$$z=-5$$

Ligningen er nu løst.

$$z=2 z=-5$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$z^{2}+3z-10=0$$

Adder 10 på begge sider af ligningen.

$$z^{2}+3z-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Hvis -10 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$z^{2}+3z=-\left(-10\right)$$

Subtraher -10 fra 0.

$$z^{2}+3z=10$$

Divider 3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Adder 10 til \frac{9}{4}.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktor z^{2}+3z+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Forenkling.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{7}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Subtraher \frac{3}{2} fra begge sider af ligningen.

$$z=2 z=-5$$