Løs y^2-y+7=0

$$y ^ { 2 } - y + 7 = 0$$

Løs for y

$$y=\frac{1+3\sqrt{3}i}{2}\approx 0,5+2,598076211i$$

$$y=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{2}\approx 0,5-2,598076211i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$y^{2}-y+7=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -1 med b og 7 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 7}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 7.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-28}}{2}$$

Adder 1 til -28.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-27}}{2}$$

Tag kvadratroden af -27.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±3\sqrt{3}i}{2}$$

Det modsatte af -1 er 1.

$$y=\frac{1±3\sqrt{3}i}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{1±3\sqrt{3}i}{2} når ± er plus. Adder 1 til 3i\sqrt{3}.

$$y=\frac{1+3\sqrt{3}i}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{1±3\sqrt{3}i}{2} når ± er minus. Subtraher 3i\sqrt{3} fra 1.

$$y=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$y=\frac{1+3\sqrt{3}i}{2} y=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$y^{2}-y+7=0$$

Subtraher 7 fra begge sider af ligningen.

$$y^{2}-y+7-7=-7$$

Hvis 7 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$y^{2}-y=-7$$

Divider -1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-7+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=-7+\frac{1}{4}$$

Adder -7 til \frac{1}{4}.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=-\frac{27}{4}$$

Faktor y^{2}-y+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{27}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{27}{4}}$$

Forenkling.

$$y-\frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}i}{2} y-\frac{1}{2}=-\frac{3\sqrt{3}i}{2}$$

Adder \frac{1}{2} på begge sider af ligningen.

$$y=\frac{1+3\sqrt{3}i}{2} y=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{2}$$