Løs y^2-42y+216=0

$$y ^ { 2 } - 42 y + 216 = 0$$

Løs for y

$$y=6$$

$$y=36$$

Vejledning i faktorisering

Faktor y^{2}-42y+216 ved hjælp af formel y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) for at løse ligningen. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-42 ab=216$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 216.

$$-1,-216 -2,-108 -3,-72 -4,-54 -6,-36 -8,-27 -9,-24 -12,-18$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-216=-217 -2-108=-110 -3-72=-75 -4-54=-58 -6-36=-42 -8-27=-35 -9-24=-33 -12-18=-30$$

Løsningen er det par, der får summen -42.

$$a=-36 b=-6$$

Omskriv det faktoriserede udtryk \left(y+a\right)\left(y+b\right) ved hjælp af de opnåede værdier.

$$\left(y-36\right)\left(y-6\right)$$

Løs y-36=0 og y-6=0 for at finde Lignings løsninger.

$$y=36 y=6$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som y^{2}+ay+by+216. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-42 ab=1\times 216=216$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 216.

$$-1,-216 -2,-108 -3,-72 -4,-54 -6,-36 -8,-27 -9,-24 -12,-18$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-216=-217 -2-108=-110 -3-72=-75 -4-54=-58 -6-36=-42 -8-27=-35 -9-24=-33 -12-18=-30$$

Løsningen er det par, der får summen -42.

$$a=-36 b=-6$$

Omskriv y^{2}-42y+216 som \left(y^{2}-36y\right)+\left(-6y+216\right).

$$\left(y^{2}-36y\right)+\left(-6y+216\right)$$

Udy i den første og -6 i den anden gruppe.

$$y\left(y-36\right)-6\left(y-36\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet y-36 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(y-36\right)\left(y-6\right)$$

Løs y-36=0 og y-6=0 for at finde Lignings løsninger.

$$y=36 y=6$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$y^{2}-42y+216=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -42 med b og 216 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\times 216}}{2}$$

Kvadrér -42.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-4\times 216}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 216.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-864}}{2}$$

Adder 1764 til -864.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{900}}{2}$$

Tag kvadratroden af 900.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±30}{2}$$

Det modsatte af -42 er 42.

$$y=\frac{42±30}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{42±30}{2} når ± er plus. Adder 42 til 30.

$$y=\frac{72}{2}$$

Divider 72 med 2.

$$y=36$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{42±30}{2} når ± er minus. Subtraher 30 fra 42.

$$y=\frac{12}{2}$$

Divider 12 med 2.

$$y=6$$

Ligningen er nu løst.

$$y=36 y=6$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$y^{2}-42y+216=0$$

Subtraher 216 fra begge sider af ligningen.

$$y^{2}-42y+216-216=-216$$

Hvis 216 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$y^{2}-42y=-216$$

Divider -42, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -21. Adder derefter kvadratet af -21 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$y^{2}-42y+\left(-21\right)^{2}=-216+\left(-21\right)^{2}$$

Kvadrér -21.

$$y^{2}-42y+441=-216+441$$

Adder -216 til 441.

$$y^{2}-42y+441=225$$

Faktor y^{2}-42y+441. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(y-21\right)^{2}=225$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(y-21\right)^{2}}=\sqrt{225}$$

Forenkling.

$$y-21=15 y-21=-15$$

Adder 21 på begge sider af ligningen.

$$y=36 y=6$$