Løs y^2-17y+30=0

$$y ^ { 2 } - 17 y + 30 = 0$$

Løs for y

$$y=2$$

$$y=15$$

Vejledning i faktorisering

Faktoriser y^{2}-17y+30 ved hjælp af formel y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) for at løse ligningen. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-17 ab=30$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Løsningen er det par, der får summen -17.

$$a=-15 b=-2$$

Omskriv det faktoriserede udtryk \left(y+a\right)\left(y+b\right) ved hjælp af de opnåede værdier.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

Løs y-15=0 og y-2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$y=15 y=2$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktorisere venstre side ved at gruppere. Først skal venstre side omskrives som y^{2}+ay+by+30. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-17 ab=1\times 30=30$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Løsningen er det par, der får summen -17.

$$a=-15 b=-2$$

Omskriv y^{2}-17y+30 som \left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right).

$$\left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right)$$

Udfaktoriser y i den første og -2 i den anden gruppe.

$$y\left(y-15\right)-2\left(y-15\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet y-15 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

Løs y-15=0 og y-2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$y=15 y=2$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$y^{2}-17y+30=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -17 med b og 30 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

Kvadrér -17.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 30}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 30.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-120}}{2}$$

Adder 289 til -120.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Tag kvadratroden af 169.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±13}{2}$$

Det modsatte af -17 er 17.

$$y=\frac{17±13}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{17±13}{2} når ± er plus. Adder 17 til 13.

$$y=\frac{30}{2}$$

Divider 30 med 2.

$$y=15$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{17±13}{2} når ± er minus. Subtraher 13 fra 17.

$$y=\frac{4}{2}$$

Divider 4 med 2.

$$y=2$$

Ligningen er nu løst.

$$y=15 y=2$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$y^{2}-17y+30=0$$

Subtraher 30 fra begge sider af ligningen.

$$y^{2}-17y+30-30=-30$$

Hvis 30 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$y^{2}-17y=-30$$

Divider -17, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{17}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{17}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$y^{2}-17y+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{17}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=-30+\frac{289}{4}$$

Adder -30 til \frac{289}{4}.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktoriser y^{2}-17y+\frac{289}{4}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Forenkling.

$$y-\frac{17}{2}=\frac{13}{2} y-\frac{17}{2}=-\frac{13}{2}$$

Adder \frac{17}{2} på begge sider af ligningen.

$$y=15 y=2$$