Løs y=2x+1text{and}x+y=7

$$y = 2 x + 1 \text { and } x + y = 7$$

Løs for y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

Vejledning i brug af substitution

Overvej den første ligning. Subtraher 2x fra begge sider.

$$y-2x=1$$

Hvis du vil løse et par ligninger ved hjælp af substitution, skal du først løse en af ligningerne for en af variablerne. Derefter skal du substituere resultatet for den pågældende variabel i den anden ligning.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Vælg én af ligningerne, og løs den for y ved at isolere y på venstre side af lighedstegnet.

$$y-2x=1$$

Adder 2x på begge sider af ligningen.

$$y=2x+1$$

Substituer 2x+1 for y i den anden ligning, y+x=7.

$$2x+1+x=7$$

Adder 2x til x.

$$3x+1=7$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$3x=6$$

Divider begge sider med 3.

$$x=2$$

Substituer 2 for x i y=2x+1. Da den resulterende ligning kun indeholder én variabel, kan du løse ligningen direkte for y.

$$y=2\times 2+1$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$y=4+1$$

Adder 1 til 4.

$$y=5$$

Systemet er nu løst.

$$y=5,x=2$$

Vejledning i brug af matrixer

Overvej den første ligning. Subtraher 2x fra begge sider.

$$y-2x=1$$

Sæt ligningerne i standardformlen, og brug derefter matrixer til at løse ligningssystemet.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Skriv ligningerne i matrixformularen.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplicer venstre side af ligningen med den inverse matrix af \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Produktet af en matrix og dens inverse matrix er identitetsmatrixen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplicer matricerne på venstre side af lighedstegnet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

For matrixen 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)er den inverse matrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matrixligningen kan omskrives som et problem med matrixmultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Udfør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplicer matrixer.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 7\\-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Udfør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Udtræk matrixelementerne y og x.

$$y=5,x=2$$

Vejledning i brug af eliminering

Overvej den første ligning. Subtraher 2x fra begge sider.

$$y-2x=1$$

Koefficienterne for en af variablerne skal være ens i begge ligninger for at kunne løse ligninger ved hjælp af eliminering, så variablen udlignes, når den ene ligning subtraheres fra den anden.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Subtraher y+x=7 fra y-2x=1 ved at subtrahere ens led på begge sider af lighedstegnet.

$$y-y-2x-x=1-7$$

Adder y til -y. Betalingsbetingelserne y og -y udlignes, og efterlader en ligning med kun én variabel, der kan løses.

$$-2x-x=1-7$$

Adder -2x til -x.

$$-3x=1-7$$

Adder 1 til -7.

$$-3x=-6$$

Divider begge sider med -3.

$$x=2$$

Substituer 2 for x i y+x=7. Da den resulterende ligning kun indeholder én variabel, kan du løse ligningen direkte for y.

$$y+2=7$$

Subtraher 2 fra begge sider af ligningen.

$$y=5$$

Systemet er nu løst.

$$y=5,x=2$$