Løs y=1/3x;quady=60-3x

$$y = \frac { 1 } { 3 } x ; \quad y = 60 - 3 x$$

Løs for y, x

$$x=18$$

$$y=6$$

Vejledning i brug af substitution

Overvej den første ligning. Subtraher \frac{1}{3}x fra begge sider.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Overvej den anden ligning. Tilføj 3x på begge sider.

$$y+3x=60$$

Hvis du vil løse et par ligninger ved hjælp af substitution, skal du først løse en af ligningerne for en af variablerne. Derefter skal du substituere resultatet for den pågældende variabel i den anden ligning.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Vælg én af ligningerne, og løs den for y ved at isolere y på venstre side af lighedstegnet.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Adder \frac{x}{3} på begge sider af ligningen.

$$y=\frac{1}{3}x$$

Substituer \frac{x}{3} for y i den anden ligning, y+3x=60.

$$\frac{1}{3}x+3x=60$$

Adder \frac{x}{3} til 3x.

$$\frac{10}{3}x=60$$

Divider begge sider af ligningen med \frac{10}{3}, hvilket er det samme som at multiplicere begge sider med den reciprokke værdi af brøken.

$$x=18$$

Substituer 18 for x i y=\frac{1}{3}x. Da den resulterende ligning kun indeholder én variabel, kan du løse ligningen direkte for y.

$$y=\frac{1}{3}\times 18$$

Multiplicer \frac{1}{3} gange 18.

$$y=6$$

Systemet er nu løst.

$$y=6,x=18$$

Vejledning i brug af matrixer

Overvej den første ligning. Subtraher \frac{1}{3}x fra begge sider.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Overvej den anden ligning. Tilføj 3x på begge sider.

$$y+3x=60$$

Sæt ligningerne i standardformlen, og brug derefter matrixer til at løse ligningssystemet.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Skriv ligningerne i matrixformularen.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Multiplicer venstre side af ligningen med den inverse matrix af \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Produktet af en matrix og dens inverse matrix er identitetsmatrixen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Multiplicer matricerne på venstre side af lighedstegnet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

For matrixen 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)er den inverse matrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matrixligningen kan omskrives som et problem med matrixmultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Udfør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Multiplicer matrixer.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 60\\\frac{3}{10}\times 60\end{matrix}\right)$$

Udfør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Udtræk matrixelementerne y og x.

$$y=6,x=18$$

Vejledning i brug af eliminering

Overvej den første ligning. Subtraher \frac{1}{3}x fra begge sider.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Overvej den anden ligning. Tilføj 3x på begge sider.

$$y+3x=60$$

Koefficienterne for en af variablerne skal være ens i begge ligninger for at kunne løse ligninger ved hjælp af eliminering, så variablen udlignes, når den ene ligning subtraheres fra den anden.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Subtraher y+3x=60 fra y-\frac{1}{3}x=0 ved at subtrahere ens led på begge sider af lighedstegnet.

$$y-y-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Adder y til -y. Betalingsbetingelserne y og -y udlignes, og efterlader en ligning med kun én variabel, der kan løses.

$$-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Adder -\frac{x}{3} til -3x.

$$-\frac{10}{3}x=-60$$

Divider begge sider af ligningen med -\frac{10}{3}, hvilket er det samme som at multiplicere begge sider med den reciprokke værdi af brøken.

$$x=18$$

Substituer 18 for x i y+3x=60. Da den resulterende ligning kun indeholder én variabel, kan du løse ligningen direkte for y.

$$y+3\times 18=60$$

Multiplicer 3 gange 18.

$$y+54=60$$

Subtraher 54 fra begge sider af ligningen.

$$y=6$$

Systemet er nu løst.

$$y=6,x=18$$