Løs x=-16x^2+81x+5

$$x=-16 { x }^{ 2 } +81x+5$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}\approx 5,061737691$$

$$x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}\approx -0,061737691$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Tilføj 16x^{2} på begge sider.

$$x+16x^{2}=81x+5$$

Subtraher 81x fra begge sider.

$$x+16x^{2}-81x=5$$

Kombiner x og -81x for at få -80x.

$$-80x+16x^{2}=5$$

Subtraher 5 fra begge sider.

$$-80x+16x^{2}-5=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$16x^{2}-80x-5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 16 med a, -80 med b og -5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times 16\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Kvadrér -80.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times 16\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Multiplicer -4 gange 16.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-64\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Multiplicer -64 gange -5.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400+320}}{2\times 16}$$

Adder 6400 til 320.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6720}}{2\times 16}$$

Tag kvadratroden af 6720.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±8\sqrt{105}}{2\times 16}$$

Det modsatte af -80 er 80.

$$x=\frac{80±8\sqrt{105}}{2\times 16}$$

Multiplicer 2 gange 16.

$$x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32} når ± er plus. Adder 80 til 8\sqrt{105}.

$$x=\frac{8\sqrt{105}+80}{32}$$

Divider 80+8\sqrt{105} med 32.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32} når ± er minus. Subtraher 8\sqrt{105} fra 80.

$$x=\frac{80-8\sqrt{105}}{32}$$

Divider 80-8\sqrt{105} med 32.

$$x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Tilføj 16x^{2} på begge sider.

$$x+16x^{2}=81x+5$$

Subtraher 81x fra begge sider.

$$x+16x^{2}-81x=5$$

Kombiner x og -81x for at få -80x.

$$-80x+16x^{2}=5$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$16x^{2}-80x=5$$

Divider begge sider med 16.

$$\frac{16x^{2}-80x}{16}=\frac{5}{16}$$

Division med 16 annullerer multiplikationen med 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{80}{16}\right)x=\frac{5}{16}$$

Divider -80 med 16.

$$x^{2}-5x=\frac{5}{16}$$

Divider -5, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{5}{16}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{5}{16}+\frac{25}{4}$$

Føj \frac{5}{16} til \frac{25}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{105}{16}$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{105}}{4} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

Adder \frac{5}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$