Løs x-x^2=5

$$x - x ^ { 2 } = 5$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+1}{2}\approx 0,5-2,179449472i$$

$$x=\frac{1+\sqrt{19}i}{2}\approx 0,5+2,179449472i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+x=5$$

Subtraher 5 fra begge sider af ligningen.

$$-x^{2}+x-5=5-5$$

Hvis 5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-x^{2}+x-5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 1 med b og -5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\left(-5\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-5\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\left(-5\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-20}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 1 til -20.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-19}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af -19.

$$x=\frac{-1±\sqrt{19}i}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{19}i}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±\sqrt{19}i}{-2} når ± er plus. Adder -1 til i\sqrt{19}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{19}i}{-2}$$

Divider -1+i\sqrt{19} med -2.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+1}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±\sqrt{19}i}{-2} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{19} fra -1.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i-1}{-2}$$

Divider -1-i\sqrt{19} med -2.

$$x=\frac{1+\sqrt{19}i}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{19}i}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+x=5$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=\frac{5}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=\frac{5}{-1}$$

Divider 1 med -1.

$$x^{2}-x=\frac{5}{-1}$$

Divider 5 med -1.

$$x^{2}-x=-5$$

Divider -1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-5+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-5+\frac{1}{4}$$

Adder -5 til \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{19}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{19}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{19}i}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{19}i}{2}$$

Adder \frac{1}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1+\sqrt{19}i}{2} x=\frac{-\sqrt{19}i+1}{2}$$