Løs x-2x^2=8

$$x - 2 x ^ { 2 } = 8$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{4}\approx 0,25-1,984313483i$$

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{4}\approx 0,25+1,984313483i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-2x^{2}+x=8$$

Subtraher 8 fra begge sider af ligningen.

$$-2x^{2}+x-8=8-8$$

Hvis 8 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-2x^{2}+x-8=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -2 med a, 1 med b og -8 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrér 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer -4 gange -2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8\left(-8\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 8 gange -8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-64}}{2\left(-2\right)}$$

Adder 1 til -64.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-63}}{2\left(-2\right)}$$

Tag kvadratroden af -63.

$$x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 2 gange -2.

$$x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{-4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{-4} når ± er plus. Adder -1 til 3i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-1+3\sqrt{7}i}{-4}$$

Divider -1+3i\sqrt{7} med -4.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{-4} når ± er minus. Subtraher 3i\sqrt{7} fra -1.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i-1}{-4}$$

Divider -1-3i\sqrt{7} med -4.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{4} x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-2x^{2}+x=8$$

Divider begge sider med -2.

$$\frac{-2x^{2}+x}{-2}=\frac{8}{-2}$$

Division med -2 annullerer multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\frac{1}{-2}x=\frac{8}{-2}$$

Divider 1 med -2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{8}{-2}$$

Divider 8 med -2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-4$$

Divider -\frac{1}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-4+\frac{1}{16}$$

Adder -4 til \frac{1}{16}.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{63}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{63}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{63}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{3\sqrt{7}i}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{3\sqrt{7}i}{4}$$

Adder \frac{1}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{4}$$