Løs x^4+6x^3-5x^2-42x+40

$$x ^ { 4 } + 6 x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 } - 42 x + 40$$

Faktoriser

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

Løsningsvejledning

Med rational rod-sætningen er alle rationale rødder af en polynomisk værdi i form af \frac{p}{q}, hvor p dividerer den konstante term 40 og q dividerer den ledende koefficient 1. En sådan rod er -5. Faktoriser den polynomiske værdi ved at dividere den med x+5.

$$\left(x+5\right)\left(x^{3}+x^{2}-10x+8\right)$$

Overvej x^{3}+x^{2}-10x+8. Med rational rod-sætningen er alle rationale rødder af en polynomisk værdi i form af \frac{p}{q}, hvor p dividerer den konstante term 8 og q dividerer den ledende koefficient 1. En sådan rod er -4. Faktoriser den polynomiske værdi ved at dividere den med x+4.

$$\left(x+4\right)\left(x^{2}-3x+2\right)$$

Overvej x^{2}-3x+2. Faktoriser udtrykket ved gruppering. Først skal udtrykket omskrives som x^{2}+ax+bx+2. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-3 ab=1\times 2=2$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Det eneste par af den slags er systemløsningen.

$$a=-2 b=-1$$

Omskriv x^{2}-3x+2 som \left(x^{2}-2x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(-x+2\right)$$

Udfaktoriser x i den første og -1 i den anden gruppe.

$$x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Omskriv hele det faktoriserede udtryk.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

Evaluer

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$