Løs x^2-x-40geq0

$$x ^ { 2 } - x - 40 \geq 0$$

Løs for x

$$x\in (-\infty,\frac{1-\sqrt{161}}{2}]\cup [\frac{\sqrt{161}+1}{2},\infty)$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-40=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 1 med a, -1 med b, og -40 med c i den kvadratiske formel.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-40\right)}}{2}$$

Lav beregningerne.

$$x=\frac{1±\sqrt{161}}{2}$$

Løs ligningen x=\frac{1±\sqrt{161}}{2} når ± er plus, og når ± er minus.

$$x=\frac{\sqrt{161}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{161}}{2}$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$\left(x-\frac{\sqrt{161}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{161}}{2}\right)\geq 0$$

For at produktet bliver ≥0, skal x-\frac{\sqrt{161}+1}{2} og x-\frac{1-\sqrt{161}}{2} begge være ≤0 eller begge være ≥0. Overvej sagen, når x-\frac{\sqrt{161}+1}{2} og x-\frac{1-\sqrt{161}}{2} begge er ≤0.

$$x-\frac{\sqrt{161}+1}{2}\leq 0 x-\frac{1-\sqrt{161}}{2}\leq 0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x\leq \frac{1-\sqrt{161}}{2}.

$$x\leq \frac{1-\sqrt{161}}{2}$$

Overvej sagen, når x-\frac{\sqrt{161}+1}{2} og x-\frac{1-\sqrt{161}}{2} begge er ≥0.

$$x-\frac{1-\sqrt{161}}{2}\geq 0 x-\frac{\sqrt{161}+1}{2}\geq 0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x\geq \frac{\sqrt{161}+1}{2}.

$$x\geq \frac{\sqrt{161}+1}{2}$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$x\leq \frac{1-\sqrt{161}}{2}\text{; }x\geq \frac{\sqrt{161}+1}{2}$$