Løs x^2-9=2(x+3)^2

$$x ^ { 2 } - 9 = 2 ( x + 3 ) ^ { 2 }$$

Løs for x

$$x=-9$$

$$x=-3$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}-9=2\left(x^{2}+6x+9\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med x^{2}+6x+9.

$$x^{2}-9=2x^{2}+12x+18$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$x^{2}-9-2x^{2}=12x+18$$

Kombiner x^{2} og -2x^{2} for at få -x^{2}.

$$-x^{2}-9=12x+18$$

Subtraher 12x fra begge sider.

$$-x^{2}-9-12x=18$$

Subtraher 18 fra begge sider.

$$-x^{2}-9-12x-18=0$$

Subtraher 18 fra -9 for at få -27.

$$-x^{2}-27-12x=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-x^{2}-12x-27=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx-27. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-12 ab=-\left(-27\right)=27$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 27.

$$-1,-27 -3,-9$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-27=-28 -3-9=-12$$

Løsningen er det par, der får summen -12.

$$a=-3 b=-9$$

Omskriv -x^{2}-12x-27 som \left(-x^{2}-3x\right)+\left(-9x-27\right).

$$\left(-x^{2}-3x\right)+\left(-9x-27\right)$$

Udx i den første og 9 i den anden gruppe.

$$x\left(-x-3\right)+9\left(-x-3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet -x-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-x-3\right)\left(x+9\right)$$

Løs -x-3=0 og x+9=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=-3 x=-9$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}-9=2\left(x^{2}+6x+9\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med x^{2}+6x+9.

$$x^{2}-9=2x^{2}+12x+18$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$x^{2}-9-2x^{2}=12x+18$$

Kombiner x^{2} og -2x^{2} for at få -x^{2}.

$$-x^{2}-9=12x+18$$

Subtraher 12x fra begge sider.

$$-x^{2}-9-12x=18$$

Subtraher 18 fra begge sider.

$$-x^{2}-9-12x-18=0$$

Subtraher 18 fra -9 for at få -27.

$$-x^{2}-27-12x=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}-12x-27=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, -12 med b og -27 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-27\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\left(-1\right)\left(-27\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+4\left(-27\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-108}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 144 til -108.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{36}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 36.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±6}{2\left(-1\right)}$$

Det modsatte af -12 er 12.

$$x=\frac{12±6}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{12±6}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±6}{-2} når ± er plus. Adder 12 til 6.

$$x=\frac{18}{-2}$$

Divider 18 med -2.

$$x=-9$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±6}{-2} når ± er minus. Subtraher 6 fra 12.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Divider 6 med -2.

$$x=-3$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-9 x=-3$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}-9=2\left(x^{2}+6x+9\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med x^{2}+6x+9.

$$x^{2}-9=2x^{2}+12x+18$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$x^{2}-9-2x^{2}=12x+18$$

Kombiner x^{2} og -2x^{2} for at få -x^{2}.

$$-x^{2}-9=12x+18$$

Subtraher 12x fra begge sider.

$$-x^{2}-9-12x=18$$

Tilføj 9 på begge sider.

$$-x^{2}-12x=18+9$$

Tilføj 18 og 9 for at få 27.

$$-x^{2}-12x=27$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}-12x}{-1}=\frac{27}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{-1}\right)x=\frac{27}{-1}$$

Divider -12 med -1.

$$x^{2}+12x=\frac{27}{-1}$$

Divider 27 med -1.

$$x^{2}+12x=-27$$

Divider 12, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få 6. Adder derefter kvadratet af 6 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+12x+6^{2}=-27+6^{2}$$

Kvadrér 6.

$$x^{2}+12x+36=-27+36$$

Adder -27 til 36.

$$x^{2}+12x+36=9$$

Faktor x^{2}+12x+36. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+6\right)^{2}=9$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Forenkling.

$$x+6=3 x+6=-3$$

Subtraher 6 fra begge sider af ligningen.

$$x=-3 x=-9$$