Løs x^2-7x-30=0

$$x ^ { 2 } - 7 x - 30 = 0$$

Løs for x

$$x=-3$$

$$x=10$$

Vejledning i faktorisering

Faktoriser x^{2}-7x-30 ved hjælp af formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) for at løse ligningen. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-7 ab=-30$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Løsningen er det par, der får summen -7.

$$a=-10 b=3$$

Omskriv det faktoriserede udtryk \left(x+a\right)\left(x+b\right) ved hjælp af de opnåede værdier.

$$\left(x-10\right)\left(x+3\right)$$

Løs x-10=0 og x+3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=10 x=-3$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktorisere venstre side ved at gruppere. Først skal venstre side omskrives som x^{2}+ax+bx-30. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-7 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Løsningen er det par, der får summen -7.

$$a=-10 b=3$$

Omskriv x^{2}-7x-30 som \left(x^{2}-10x\right)+\left(3x-30\right).

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(3x-30\right)$$

Udfaktoriser x i den første og 3 i den anden gruppe.

$$x\left(x-10\right)+3\left(x-10\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-10 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-10\right)\left(x+3\right)$$

Løs x-10=0 og x+3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=10 x=-3$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-7x-30=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -7 med b og -30 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-30\right)}}{2}$$

Kvadrér -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-30\right)}}{2}$$

Multiplicer -4 gange -30.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2}$$

Adder 49 til 120.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Tag kvadratroden af 169.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2}$$

Det modsatte af -7 er 7.

$$x=\frac{7±13}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±13}{2} når ± er plus. Adder 7 til 13.

$$x=\frac{20}{2}$$

Divider 20 med 2.

$$x=10$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±13}{2} når ± er minus. Subtraher 13 fra 7.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Divider -6 med 2.

$$x=-3$$

Ligningen er nu løst.

$$x=10 x=-3$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}-7x-30=0$$

Adder 30 på begge sider af ligningen.

$$x^{2}-7x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Hvis -30 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-7x=-\left(-30\right)$$

Subtraher -30 fra 0.

$$x^{2}-7x=30$$

Divider -7, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=30+\frac{49}{4}$$

Adder 30 til \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktoriser x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{13}{2}$$

Adder \frac{7}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=10 x=-3$$