Løs x^2-6x-9=0

$$x ^ { 2 } - 6 x - 9 = 0$$

Løs for x

$$x=3\sqrt{2}+3\approx 7,242640687$$

$$x=3-3\sqrt{2}\approx -1,242640687$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-6x-9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -6 med b og -9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Kvadrér -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-9\right)}}{2}$$

Multiplicer -4 gange -9.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+36}}{2}$$

Adder 36 til 36.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{72}}{2}$$

Tag kvadratroden af 72.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±6\sqrt{2}}{2}$$

Det modsatte af -6 er 6.

$$x=\frac{6±6\sqrt{2}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{6±6\sqrt{2}}{2} når ± er plus. Adder 6 til 6\sqrt{2}.

$$x=\frac{6\sqrt{2}+6}{2}$$

Divider 6+6\sqrt{2} med 2.

$$x=3\sqrt{2}+3$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{6±6\sqrt{2}}{2} når ± er minus. Subtraher 6\sqrt{2} fra 6.

$$x=\frac{6-6\sqrt{2}}{2}$$

Divider 6-6\sqrt{2} med 2.

$$x=3-3\sqrt{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=3\sqrt{2}+3 x=3-3\sqrt{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}-6x-9=0$$

Adder 9 på begge sider af ligningen.

$$x^{2}-6x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Hvis -9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-6x=-\left(-9\right)$$

Subtraher -9 fra 0.

$$x^{2}-6x=9$$

Divider -6, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -3. Adder derefter kvadratet af -3 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=9+\left(-3\right)^{2}$$

Kvadrér -3.

$$x^{2}-6x+9=9+9$$

Adder 9 til 9.

$$x^{2}-6x+9=18$$

Faktor x^{2}-6x+9. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-3\right)^{2}=18$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{18}$$

Forenkling.

$$x-3=3\sqrt{2} x-3=-3\sqrt{2}$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$x=3\sqrt{2}+3 x=3-3\sqrt{2}$$