Løs x^2-4x-41=0

$$x ^ { 2 } - 4 x - 41 = 0$$

Løs for x

$$x=3\sqrt{5}+2\approx 8,708203932$$

$$x=2-3\sqrt{5}\approx -4,708203932$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-4x-41=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -4 med b og -41 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-41\right)}}{2}$$

Kvadrér -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-41\right)}}{2}$$

Multiplicer -4 gange -41.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+164}}{2}$$

Adder 16 til 164.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{180}}{2}$$

Tag kvadratroden af 180.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±6\sqrt{5}}{2}$$

Det modsatte af -4 er 4.

$$x=\frac{4±6\sqrt{5}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±6\sqrt{5}}{2} når ± er plus. Adder 4 til 6\sqrt{5}.

$$x=\frac{6\sqrt{5}+4}{2}$$

Divider 4+6\sqrt{5} med 2.

$$x=3\sqrt{5}+2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±6\sqrt{5}}{2} når ± er minus. Subtraher 6\sqrt{5} fra 4.

$$x=\frac{4-6\sqrt{5}}{2}$$

Divider 4-6\sqrt{5} med 2.

$$x=2-3\sqrt{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=3\sqrt{5}+2 x=2-3\sqrt{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}-4x-41=0$$

Adder 41 på begge sider af ligningen.

$$x^{2}-4x-41-\left(-41\right)=-\left(-41\right)$$

Hvis -41 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-4x=-\left(-41\right)$$

Subtraher -41 fra 0.

$$x^{2}-4x=41$$

Divider -4, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -2. Adder derefter kvadratet af -2 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=41+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrér -2.

$$x^{2}-4x+4=41+4$$

Adder 41 til 4.

$$x^{2}-4x+4=45$$

Faktor x^{2}-4x+4. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}=45$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{45}$$

Forenkling.

$$x-2=3\sqrt{5} x-2=-3\sqrt{5}$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$x=3\sqrt{5}+2 x=2-3\sqrt{5}$$