Løs x^2-3x+11+x^2-4x+1=12x^2-2x+31

$$x ^ { 2 } - 3 x + 11 + x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 12 x ^ { 2 } - 2 x + 31$$

Løs for x (complex solution)

$$x=-\frac{7\sqrt{15}i}{20}-\frac{1}{4}\approx -0,25-1,355544171i$$

$$x=\frac{7\sqrt{15}i}{20}-\frac{1}{4}\approx -0,25+1,355544171i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Kombiner x^{2} og x^{2} for at få 2x^{2}.

$$2x^{2}-3x+11-4x+1=12x^{2}-2x+31$$

Kombiner -3x og -4x for at få -7x.

$$2x^{2}-7x+11+1=12x^{2}-2x+31$$

Tilføj 11 og 1 for at få 12.

$$2x^{2}-7x+12=12x^{2}-2x+31$$

Subtraher 12x^{2} fra begge sider.

$$2x^{2}-7x+12-12x^{2}=-2x+31$$

Kombiner 2x^{2} og -12x^{2} for at få -10x^{2}.

$$-10x^{2}-7x+12=-2x+31$$

Tilføj 2x på begge sider.

$$-10x^{2}-7x+12+2x=31$$

Kombiner -7x og 2x for at få -5x.

$$-10x^{2}-5x+12=31$$

Subtraher 31 fra begge sider.

$$-10x^{2}-5x+12-31=0$$

Subtraher 31 fra 12 for at få -19.

$$-10x^{2}-5x-19=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -10 med a, -5 med b og -19 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-10\right)\left(-19\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Kvadrér -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-10\right)\left(-19\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Multiplicer -4 gange -10.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+40\left(-19\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Multiplicer 40 gange -19.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-760}}{2\left(-10\right)}$$

Adder 25 til -760.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-735}}{2\left(-10\right)}$$

Tag kvadratroden af -735.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7\sqrt{15}i}{2\left(-10\right)}$$

Det modsatte af -5 er 5.

$$x=\frac{5±7\sqrt{15}i}{2\left(-10\right)}$$

Multiplicer 2 gange -10.

$$x=\frac{5±7\sqrt{15}i}{-20}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±7\sqrt{15}i}{-20} når ± er plus. Adder 5 til 7i\sqrt{15}.

$$x=\frac{5+7\sqrt{15}i}{-20}$$

Divider 5+7i\sqrt{15} med -20.

$$x=-\frac{7\sqrt{15}i}{20}-\frac{1}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±7\sqrt{15}i}{-20} når ± er minus. Subtraher 7i\sqrt{15} fra 5.

$$x=\frac{-7\sqrt{15}i+5}{-20}$$

Divider 5-7i\sqrt{15} med -20.

$$x=\frac{7\sqrt{15}i}{20}-\frac{1}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{7\sqrt{15}i}{20}-\frac{1}{4} x=\frac{7\sqrt{15}i}{20}-\frac{1}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kombiner x^{2} og x^{2} for at få 2x^{2}.

$$2x^{2}-3x+11-4x+1=12x^{2}-2x+31$$

Kombiner -3x og -4x for at få -7x.

$$2x^{2}-7x+11+1=12x^{2}-2x+31$$

Tilføj 11 og 1 for at få 12.

$$2x^{2}-7x+12=12x^{2}-2x+31$$

Subtraher 12x^{2} fra begge sider.

$$2x^{2}-7x+12-12x^{2}=-2x+31$$

Kombiner 2x^{2} og -12x^{2} for at få -10x^{2}.

$$-10x^{2}-7x+12=-2x+31$$

Tilføj 2x på begge sider.

$$-10x^{2}-7x+12+2x=31$$

Kombiner -7x og 2x for at få -5x.

$$-10x^{2}-5x+12=31$$

Subtraher 12 fra begge sider.

$$-10x^{2}-5x=31-12$$

Subtraher 12 fra 31 for at få 19.

$$-10x^{2}-5x=19$$

Divider begge sider med -10.

$$\frac{-10x^{2}-5x}{-10}=\frac{19}{-10}$$

Division med -10 annullerer multiplikationen med -10.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{-10}\right)x=\frac{19}{-10}$$

Reducer fraktionen \frac{-5}{-10} til de laveste led ved at udtrække og annullere 5.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{19}{-10}$$

Divider 19 med -10.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{19}{10}$$

Divider \frac{1}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{19}{10}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{19}{10}+\frac{1}{16}$$

Føj -\frac{19}{10} til \frac{1}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{147}{80}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{147}{80}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{147}{80}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{7\sqrt{15}i}{20} x+\frac{1}{4}=-\frac{7\sqrt{15}i}{20}$$

Subtraher \frac{1}{4} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{7\sqrt{15}i}{20}-\frac{1}{4} x=-\frac{7\sqrt{15}i}{20}-\frac{1}{4}$$