Løs x^2-2x-9=0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 9 = 0$$

Løs for x

$$x=\sqrt{10}+1\approx 4,16227766$$

$$x=1-\sqrt{10}\approx -2,16227766$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-2x-9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -2 med b og -9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Kvadrér -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-9\right)}}{2}$$

Multiplicer -4 gange -9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+36}}{2}$$

Adder 4 til 36.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{40}}{2}$$

Tag kvadratroden af 40.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{10}}{2}$$

Det modsatte af -2 er 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{10}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±2\sqrt{10}}{2} når ± er plus. Adder 2 til 2\sqrt{10}.

$$x=\frac{2\sqrt{10}+2}{2}$$

Divider 2+2\sqrt{10} med 2.

$$x=\sqrt{10}+1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±2\sqrt{10}}{2} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{10} fra 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{10}}{2}$$

Divider 2-2\sqrt{10} med 2.

$$x=1-\sqrt{10}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\sqrt{10}+1 x=1-\sqrt{10}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}-2x-9=0$$

Adder 9 på begge sider af ligningen.

$$x^{2}-2x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Hvis -9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-2x=-\left(-9\right)$$

Subtraher -9 fra 0.

$$x^{2}-2x=9$$

Divider -2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -1. Adder derefter kvadratet af -1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=9+1$$

Adder 9 til 1.

$$x^{2}-2x+1=10$$

Faktor x^{2}-2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=10$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{10}$$

Forenkling.

$$x-1=\sqrt{10} x-1=-\sqrt{10}$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$x=\sqrt{10}+1 x=1-\sqrt{10}$$