Løs x^2-2x-5<0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 5 < 0$$

Løs for x

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-2x-5=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 1 med a, -2 med b, og -5 med c i den kvadratiske formel.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

Lav beregningerne.

$$x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2}$$

Løs ligningen x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2} når ± er plus, og når ± er minus.

$$x=\sqrt{6}+1 x=1-\sqrt{6}$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$\left(x-\left(\sqrt{6}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{6}\right)\right)<0$$

For at produktet bliver negativt, skal x-\left(\sqrt{6}+1\right) og x-\left(1-\sqrt{6}\right) have modsatte tegn. Overvej sagen, når x-\left(\sqrt{6}+1\right) er positiv og x-\left(1-\sqrt{6}\right) er negativ.

$$x-\left(\sqrt{6}+1\right)>0 x-\left(1-\sqrt{6}\right)<0$$

Dette er falsk for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Overvej sagen, når x-\left(1-\sqrt{6}\right) er positiv og x-\left(\sqrt{6}+1\right) er negativ.

$$x-\left(1-\sqrt{6}\right)>0 x-\left(\sqrt{6}+1\right)<0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right).

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$