Løs x^2-13x+42=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

Løs for x

$$x=6$$

$$x=7$$

Vejledning i faktorisering

Faktoriser x^{2}-13x+42 ved hjælp af formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) for at løse ligningen. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-13 ab=42$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Løsningen er det par, der får summen -13.

$$a=-7 b=-6$$

Omskriv det faktoriserede udtryk \left(x+a\right)\left(x+b\right) ved hjælp af de opnåede værdier.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Løs x-7=0 og x-6=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=7 x=6$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktorisere venstre side ved at gruppere. Først skal venstre side omskrives som x^{2}+ax+bx+42. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Løsningen er det par, der får summen -13.

$$a=-7 b=-6$$

Omskriv x^{2}-13x+42 som \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Udfaktoriser x i den første og -6 i den anden gruppe.

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-7 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Løs x-7=0 og x-6=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=7 x=6$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -13 med b og 42 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

Kvadrér -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 42.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

Adder 169 til -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Tag kvadratroden af 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

Det modsatte af -13 er 13.

$$x=\frac{13±1}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{13±1}{2} når ± er plus. Adder 13 til 1.

$$x=\frac{14}{2}$$

Divider 14 med 2.

$$x=7$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{13±1}{2} når ± er minus. Subtraher 1 fra 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Divider 12 med 2.

$$x=6$$

Ligningen er nu løst.

$$x=7 x=6$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Subtraher 42 fra begge sider af ligningen.

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

Hvis 42 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-13x=-42$$

Divider -13, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{13}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{13}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{13}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Adder -42 til \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Faktoriser x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Adder \frac{13}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=7 x=6$$