Løs x^2-12x-9=0

$$x ^ { 2 } - 12 x - 9 = 0$$

Løs for x

$$x=3\sqrt{5}+6\approx 12,708203932$$

$$x=6-3\sqrt{5}\approx -0,708203932$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-12x-9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -12 med b og -9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Kvadrér -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\left(-9\right)}}{2}$$

Multiplicer -4 gange -9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+36}}{2}$$

Adder 144 til 36.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{180}}{2}$$

Tag kvadratroden af 180.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{5}}{2}$$

Det modsatte af -12 er 12.

$$x=\frac{12±6\sqrt{5}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±6\sqrt{5}}{2} når ± er plus. Adder 12 til 6\sqrt{5}.

$$x=\frac{6\sqrt{5}+12}{2}$$

Divider 12+6\sqrt{5} med 2.

$$x=3\sqrt{5}+6$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±6\sqrt{5}}{2} når ± er minus. Subtraher 6\sqrt{5} fra 12.

$$x=\frac{12-6\sqrt{5}}{2}$$

Divider 12-6\sqrt{5} med 2.

$$x=6-3\sqrt{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=3\sqrt{5}+6 x=6-3\sqrt{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}-12x-9=0$$

Adder 9 på begge sider af ligningen.

$$x^{2}-12x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Hvis -9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-12x=-\left(-9\right)$$

Subtraher -9 fra 0.

$$x^{2}-12x=9$$

Divider -12, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -6. Adder derefter kvadratet af -6 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=9+\left(-6\right)^{2}$$

Kvadrér -6.

$$x^{2}-12x+36=9+36$$

Adder 9 til 36.

$$x^{2}-12x+36=45$$

Faktor x^{2}-12x+36. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-6\right)^{2}=45$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{45}$$

Forenkling.

$$x-6=3\sqrt{5} x-6=-3\sqrt{5}$$

Adder 6 på begge sider af ligningen.

$$x=3\sqrt{5}+6 x=6-3\sqrt{5}$$