Løs x^2-10x+90=0

$$x ^ { 2 } - 10 x + 90 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=5+\sqrt{65}i\approx 5+8,062257748i$$

$$x=-\sqrt{65}i+5\approx 5-8,062257748i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-10x+90=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -10 med b og 90 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 90}}{2}$$

Kvadrér -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 90}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 90.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-360}}{2}$$

Adder 100 til -360.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-260}}{2}$$

Tag kvadratroden af -260.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{65}i}{2}$$

Det modsatte af -10 er 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2} når ± er plus. Adder 10 til 2i\sqrt{65}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{65}i}{2}$$

Divider 10+2i\sqrt{65} med 2.

$$x=5+\sqrt{65}i$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{65} fra 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{65}i+10}{2}$$

Divider 10-2i\sqrt{65} med 2.

$$x=-\sqrt{65}i+5$$

Ligningen er nu løst.

$$x=5+\sqrt{65}i x=-\sqrt{65}i+5$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}-10x+90=0$$

Subtraher 90 fra begge sider af ligningen.

$$x^{2}-10x+90-90=-90$$

Hvis 90 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-10x=-90$$

Divider -10, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -5. Adder derefter kvadratet af -5 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-90+\left(-5\right)^{2}$$

Kvadrér -5.

$$x^{2}-10x+25=-90+25$$

Adder -90 til 25.

$$x^{2}-10x+25=-65$$

Faktor x^{2}-10x+25. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-5\right)^{2}=-65$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{-65}$$

Forenkling.

$$x-5=\sqrt{65}i x-5=-\sqrt{65}i$$

Adder 5 på begge sider af ligningen.

$$x=5+\sqrt{65}i x=-\sqrt{65}i+5$$