Løs x^2+7x-78=42

$$x ^ { 2 } + 7 x - 78 = 42$$

Løs for x

$$x=-15$$

$$x=8$$

Vejledning i faktorisering

Subtraher 42 fra begge sider.

$$x^{2}+7x-78-42=0$$

Subtraher 42 fra -78 for at få -120.

$$x^{2}+7x-120=0$$

Faktor x^{2}+7x-120 ved hjælp af formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) for at løse ligningen. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=7 ab=-120$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Løsningen er det par, der får summen 7.

$$a=-8 b=15$$

Omskriv det faktoriserede udtryk \left(x+a\right)\left(x+b\right) ved hjælp af de opnåede værdier.

$$\left(x-8\right)\left(x+15\right)$$

Løs x-8=0 og x+15=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=8 x=-15$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher 42 fra begge sider.

$$x^{2}+7x-78-42=0$$

Subtraher 42 fra -78 for at få -120.

$$x^{2}+7x-120=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som x^{2}+ax+bx-120. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=7 ab=1\left(-120\right)=-120$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Løsningen er det par, der får summen 7.

$$a=-8 b=15$$

Omskriv x^{2}+7x-120 som \left(x^{2}-8x\right)+\left(15x-120\right).

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(15x-120\right)$$

Udx i den første og 15 i den anden gruppe.

$$x\left(x-8\right)+15\left(x-8\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-8 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-8\right)\left(x+15\right)$$

Løs x-8=0 og x+15=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=8 x=-15$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}+7x-78=42$$

Subtraher 42 fra begge sider af ligningen.

$$x^{2}+7x-78-42=42-42$$

Hvis 42 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}+7x-78-42=0$$

Subtraher 42 fra -78.

$$x^{2}+7x-120=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, 7 med b og -120 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-120\right)}}{2}$$

Kvadrér 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-120\right)}}{2}$$

Multiplicer -4 gange -120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2}$$

Adder 49 til 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2}$$

Tag kvadratroden af 529.

$$x=\frac{-7±23}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-7±23}{2} når ± er plus. Adder -7 til 23.

$$x=\frac{16}{2}$$

Divider 16 med 2.

$$x=8$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-7±23}{2} når ± er minus. Subtraher 23 fra -7.

$$x=-\frac{30}{2}$$

Divider -30 med 2.

$$x=-15$$

Ligningen er nu løst.

$$x=8 x=-15$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}+7x-78=42$$

Adder 78 på begge sider af ligningen.

$$x^{2}+7x-78-\left(-78\right)=42-\left(-78\right)$$

Hvis -78 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}+7x=42-\left(-78\right)$$

Subtraher -78 fra 42.

$$x^{2}+7x=120$$

Divider 7, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{7}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{7}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=120+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{7}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=120+\frac{49}{4}$$

Adder 120 til \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{529}{4}$$

Faktor x^{2}+7x+\frac{49}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{529}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{23}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{23}{2}$$

Subtraher \frac{7}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=8 x=-15$$