Løs x^2+3x-11=0

$$x ^ { 2 } + 3 x - 11 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{53} - 3}{2} \approx 2,140054945$$

$$x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}\approx -5,140054945$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}+3x-11=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, 3 med b og -11 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-11\right)}}{2}$$

Kvadrér 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-11\right)}}{2}$$

Multiplicer -4 gange -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+44}}{2}$$

Adder 9 til 44.

$$x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2} når ± er plus. Adder -3 til \sqrt{53}.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2} når ± er minus. Subtraher \sqrt{53} fra -3.

$$x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}+3x-11=0$$

Adder 11 på begge sider af ligningen.

$$x^{2}+3x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Hvis -11 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}+3x=-\left(-11\right)$$

Subtraher -11 fra 0.

$$x^{2}+3x=11$$

Divider 3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=11+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=11+\frac{9}{4}$$

Adder 11 til \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{53}{4}$$

Faktor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{53}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{53}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{53}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{53}}{2}$$

Subtraher \frac{3}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}$$