Løs x^2+11+sqrt{x^2+11}=42

$$x ^ { 2 } + 11 + \sqrt { x ^ { 2 } + 11 } = 42$$

Løs for x

$$x=-5$$

$$x=5$$

Løsningsvejledning

Subtraher x^{2}+11 fra begge sider af ligningen.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-\left(x^{2}+11\right)$$

For at finde det modsatte af x^{2}+11 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-x^{2}-11$$

Subtraher 11 fra 42 for at få 31.

$$\sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{x^{2}+11}\right)^{2}=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x^{2}+11} til potensen af 2, og få x^{2}+11.

$$x^{2}+11=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(31-x^{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}$$

For at hæve en potens til en anden potens, skal du gange eksponenterne. Gang 2 og 2 for at få 4.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+x^{4}$$

Subtraher 961 fra begge sider.

$$x^{2}+11-961=-62x^{2}+x^{4}$$

Subtraher 961 fra 11 for at få -950.

$$x^{2}-950=-62x^{2}+x^{4}$$

Tilføj 62x^{2} på begge sider.

$$x^{2}-950+62x^{2}=x^{4}$$

Kombiner x^{2} og 62x^{2} for at få 63x^{2}.

$$63x^{2}-950=x^{4}$$

Subtraher x^{4} fra begge sider.

$$63x^{2}-950-x^{4}=0$$

Erstat t for x^{2}.

$$-t^{2}+63t-950=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat -1 med a, 63 med b, og -950 med c i den kvadratiske formel.

$$t=\frac{-63±\sqrt{63^{2}-4\left(-1\right)\left(-950\right)}}{-2}$$

Lav beregningerne.

$$t=\frac{-63±13}{-2}$$

Løs ligningen t=\frac{-63±13}{-2} når ± er plus, og når ± er minus.

$$t=25 t=38$$

Siden x=t^{2} bliver løsningerne hentet ved at evaluere x=±\sqrt{t} for hver t.

$$x=5 x=-5 x=\sqrt{38} x=-\sqrt{38}$$

Substituer x med 5 i ligningen x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$5^{2}+11+\sqrt{5^{2}+11}=42$$

Forenkling. Værdien x=5 opfylder ligningen.

$$42=42$$

Substituer x med -5 i ligningen x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(-5\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-5\right)^{2}+11}=42$$

Forenkling. Værdien x=-5 opfylder ligningen.

$$42=42$$

Substituer x med \sqrt{38} i ligningen x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Forenkling. Den værdi, x=\sqrt{38}, ikke opfylder ligningen.

$$56=42$$

Substituer x med -\sqrt{38} i ligningen x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Forenkling. Den værdi, x=-\sqrt{38}, ikke opfylder ligningen.

$$56=42$$

Vis alle løsninger af \sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}.

$$x=5 x=-5$$