Løs x^2+(x+3/2)^2-8x-2(x+3/2)+7=0

$$x ^ { 2 } + ( \frac { x + 3 } { 2 } ) ^ { 2 } - 8 x - 2 ( \frac { x + 3 } { 2 } ) + 7 = 0$$

Løs for x

$$x=1$$

$$x=5$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Multiplicer begge sider af ligningen med 2.

$$2\left(x^{2}+\left(\frac{x+3}{2}\right)^{2}-8x-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

For at hæve \frac{x+3}{2} i en potens skal både tælleren og nævneren hæves i potensen og så divideres.

$$2\left(x^{2}+\frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-8x-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

For tilføje eller fratrække udtryk skal du udvide dem for at gøre nævneren ens. Multiplicer x^{2}-8x gange \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$2\left(\frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+\frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Da \frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}}{2^{2}} og \frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}} har den samme fællesnævner, skal du addere dem ved at tilføje deres tællere.

$$2\left(\frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}+\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Lav multiplikationerne i \left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}+\left(x+3\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4x^{2}-32x+x^{2}+6x+9}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Kombiner ens led i 4x^{2}-32x+x^{2}+6x+9.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Udtryk 2\times \frac{x+3}{2} som en enkelt brøk.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-\frac{2\left(x+3\right)}{2}\right)+14=0$$

Udlign 2 og 2.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-\left(x+3\right)\right)+14=0$$

For at finde det modsatte af x+3 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-x-3\right)+14=0$$

For tilføje eller fratrække udtryk skal du udvide dem for at gøre nævneren ens. Multiplicer -x-3 gange \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}+\frac{\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}}\right)+14=0$$

Da \frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}} og \frac{\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}} har den samme fællesnævner, skal du addere dem ved at tilføje deres tællere.

$$2\times \frac{5x^{2}-26x+9+\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+14=0$$

Lav multiplikationerne i 5x^{2}-26x+9+\left(-x-3\right)\times 2^{2}.

$$2\times \frac{5x^{2}-26x+9-4x-12}{2^{2}}+14=0$$

Kombiner ens led i 5x^{2}-26x+9-4x-12.

$$2\times \frac{5x^{2}-30x-3}{2^{2}}+14=0$$

Udtryk 2\times \frac{5x^{2}-30x-3}{2^{2}} som en enkelt brøk.

$$\frac{2\left(5x^{2}-30x-3\right)}{2^{2}}+14=0$$

Udlign 2 i både tælleren og nævneren.

$$\frac{5x^{2}-30x-3}{2}+14=0$$

Divider hvert led på 5x^{2}-30x-3 med 2 for at få \frac{5}{2}x^{2}-15x-\frac{3}{2}.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x-\frac{3}{2}+14=0$$

Tilføj -\frac{3}{2} og 14 for at få \frac{25}{2}.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x+\frac{25}{2}=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat \frac{5}{2} med a, -15 med b og \frac{25}{2} med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times \frac{5}{2}\times \frac{25}{2}}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Kvadrér -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times \frac{5}{2}\times \frac{25}{2}}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Multiplicer -4 gange \frac{5}{2}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-10\times \frac{25}{2}}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Multiplicer -10 gange \frac{25}{2}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-125}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Adder 225 til -125.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{100}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Tag kvadratroden af 100.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±10}{2\times \frac{5}{2}}$$

Det modsatte af -15 er 15.

$$x=\frac{15±10}{2\times \frac{5}{2}}$$

Multiplicer 2 gange \frac{5}{2}.

$$x=\frac{15±10}{5}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{15±10}{5} når ± er plus. Adder 15 til 10.

$$x=\frac{25}{5}$$

Divider 25 med 5.

$$x=5$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{15±10}{5} når ± er minus. Subtraher 10 fra 15.

$$x=\frac{5}{5}$$

Divider 5 med 5.

$$x=1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=5 x=1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Multiplicer begge sider af ligningen med 2.

$$2\left(x^{2}+\left(\frac{x+3}{2}\right)^{2}-8x-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

For at hæve \frac{x+3}{2} i en potens skal både tælleren og nævneren hæves i potensen og så divideres.

$$2\left(x^{2}+\frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-8x-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

For tilføje eller fratrække udtryk skal du udvide dem for at gøre nævneren ens. Multiplicer x^{2}-8x gange \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$2\left(\frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+\frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Da \frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}}{2^{2}} og \frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}} har den samme fællesnævner, skal du addere dem ved at tilføje deres tællere.

$$2\left(\frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}+\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Lav multiplikationerne i \left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}+\left(x+3\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4x^{2}-32x+x^{2}+6x+9}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Kombiner ens led i 4x^{2}-32x+x^{2}+6x+9.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Udtryk 2\times \frac{x+3}{2} som en enkelt brøk.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-\frac{2\left(x+3\right)}{2}\right)+14=0$$

Udlign 2 og 2.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-\left(x+3\right)\right)+14=0$$

For at finde det modsatte af x+3 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-x-3\right)+14=0$$

For tilføje eller fratrække udtryk skal du udvide dem for at gøre nævneren ens. Multiplicer -x-3 gange \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}+\frac{\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}}\right)+14=0$$

Da \frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}} og \frac{\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}} har den samme fællesnævner, skal du addere dem ved at tilføje deres tællere.

$$2\times \frac{5x^{2}-26x+9+\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+14=0$$

Lav multiplikationerne i 5x^{2}-26x+9+\left(-x-3\right)\times 2^{2}.

$$2\times \frac{5x^{2}-26x+9-4x-12}{2^{2}}+14=0$$

Kombiner ens led i 5x^{2}-26x+9-4x-12.

$$2\times \frac{5x^{2}-30x-3}{2^{2}}+14=0$$

Udtryk 2\times \frac{5x^{2}-30x-3}{2^{2}} som en enkelt brøk.

$$\frac{2\left(5x^{2}-30x-3\right)}{2^{2}}+14=0$$

Udlign 2 i både tælleren og nævneren.

$$\frac{5x^{2}-30x-3}{2}+14=0$$

Divider hvert led på 5x^{2}-30x-3 med 2 for at få \frac{5}{2}x^{2}-15x-\frac{3}{2}.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x-\frac{3}{2}+14=0$$

Tilføj -\frac{3}{2} og 14 for at få \frac{25}{2}.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x+\frac{25}{2}=0$$

Subtraher \frac{25}{2} fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x=-\frac{25}{2}$$

Divider begge sider af ligningen med \frac{5}{2}, hvilket er det samme som at multiplicere begge sider med den reciprokke værdi af brøken.

$$\frac{\frac{5}{2}x^{2}-15x}{\frac{5}{2}}=-\frac{\frac{25}{2}}{\frac{5}{2}}$$

Division med \frac{5}{2} annullerer multiplikationen med \frac{5}{2}.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{\frac{5}{2}}\right)x=-\frac{\frac{25}{2}}{\frac{5}{2}}$$

Divider -15 med \frac{5}{2} ved at multiplicere -15 med den reciprokke værdi af \frac{5}{2}.

$$x^{2}-6x=-\frac{\frac{25}{2}}{\frac{5}{2}}$$

Divider -\frac{25}{2} med \frac{5}{2} ved at multiplicere -\frac{25}{2} med den reciprokke værdi af \frac{5}{2}.

$$x^{2}-6x=-5$$

Divider -6, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -3. Adder derefter kvadratet af -3 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-5+\left(-3\right)^{2}$$

Kvadrér -3.

$$x^{2}-6x+9=-5+9$$

Adder -5 til 9.

$$x^{2}-6x+9=4$$

Faktor x^{2}-6x+9. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-3\right)^{2}=4$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Forenkling.

$$x-3=2 x-3=-2$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$x=5 x=1$$