Løs x^2+sqrt{6}x+5=0

$$x ^ { 2 } + \sqrt { 6 } x + 5 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2}\approx -1,224744871+1,870828693i$$

$$x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}\approx -1,224744871-1,870828693i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, \sqrt{6} med b og 5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{\left(\sqrt{6}\right)^{2}-4\times 5}}{2}$$

Kvadrér \sqrt{6}.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{6-4\times 5}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{6-20}}{2}$$

Adder 6 til -20.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{-14}}{2}$$

Tag kvadratroden af -14.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{14}i}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{14}i}{2} når ± er plus. Adder -\sqrt{6} til i\sqrt{14}.

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{14}i}{2} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{14} fra -\sqrt{6}.

$$x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2} x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+5=0$$

Subtraher 5 fra begge sider af ligningen.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+5-5=-5$$

Hvis 5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}+\sqrt{6}x=-5$$

Divider \sqrt{6}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{\sqrt{6}}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{\sqrt{6}}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}=-5+\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}$$

Kvadrér \frac{\sqrt{6}}{2}.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+\frac{3}{2}=-5+\frac{3}{2}$$

Adder -5 til \frac{3}{2}.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Faktor x^{2}+\sqrt{6}x+\frac{3}{2}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{2}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{2}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{14}i}{2} x+\frac{\sqrt{6}}{2}=-\frac{\sqrt{14}i}{2}$$

Subtraher \frac{\sqrt{6}}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2} x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}$$