Løs x^16+x

$$x ^ { 16 } + x$$

Faktoriser

$$x\left(x+1\right)\left(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)\left(x^{10}-x^{5}+1\right)$$

Løsningsvejledning

Udfaktoriser x.

$$x\left(x^{15}+1\right)$$

Overvej x^{15}+1. Omskriv x^{15}+1 som \left(x^{5}\right)^{3}+1^{3}. Summen af kuber kan indregnes ved hjælp af reglen: a^{3}+b^{3}=\left(a+b\right)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right).

$$\left(x^{5}+1\right)\left(x^{10}-x^{5}+1\right)$$

Overvej x^{5}+1. Med Rational sætning er alle de rationelle rødder af en polynomisk værdi i form af \frac{p}{q}, hvor p Dividerer den konstante term 1 og q opdeler den fordelingskoefficient 1. En sådan rod er -1. Faktoriser den polynomiske værdi ved at dividere den med x+1.

$$\left(x+1\right)\left(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)$$

Omskriv hele det faktoriserede udtryk. Følgende polynomier er ikke indregnet, fordi de ikke har nogen rationelle rødder: x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1,x^{10}-x^{5}+1.

$$x\left(x+1\right)\left(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)\left(x^{10}-x^{5}+1\right)$$

Evaluer

$$x^{16}+x$$