Løs x+3x+1/2-x-2/3=x^2-2

$$x + \frac { 3 x + 1 } { 2 } - \frac { x - 2 } { 3 } = x ^ { 2 } - 2$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \approx 3,166666667$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Gang begge sider af ligningen med 6, det mindste fælles multiplum af 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3 med 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Kombiner 6x og 9x for at få 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -2 med x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Kombiner 15x og -2x for at få 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Tilføj 3 og 4 for at få 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Subtraher 6x^{2} fra begge sider.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Tilføj 12 på begge sider.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Tilføj 7 og 12 for at få 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -6x^{2}+ax+bx+19. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -114.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

Løsningen er det par, der får summen 13.

$$a=19 b=-6$$

Omskriv -6x^{2}+13x+19 som \left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right).

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

Ud-x i den første og -1 i den anden gruppe.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 6x-19 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

Løs 6x-19=0 og -x-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Gang begge sider af ligningen med 6, det mindste fælles multiplum af 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3 med 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Kombiner 6x og 9x for at få 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -2 med x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Kombiner 15x og -2x for at få 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Tilføj 3 og 4 for at få 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Subtraher 6x^{2} fra begge sider.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Tilføj 12 på begge sider.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Tilføj 7 og 12 for at få 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -6 med a, 13 med b og 19 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Kvadrér 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplicer -4 gange -6.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplicer 24 gange 19.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}$$

Adder 169 til 456.

$$x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}$$

Tag kvadratroden af 625.

$$x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}$$

Multiplicer 2 gange -6.

$$x=\frac{-13±25}{-12}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-13±25}{-12} når ± er plus. Adder -13 til 25.

$$x=\frac{12}{-12}$$

Divider 12 med -12.

$$x=-1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-13±25}{-12} når ± er minus. Subtraher 25 fra -13.

$$x=-\frac{38}{-12}$$

Reducer fraktionen \frac{-38}{-12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{19}{6}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-1 x=\frac{19}{6}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Gang begge sider af ligningen med 6, det mindste fælles multiplum af 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3 med 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Kombiner 6x og 9x for at få 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -2 med x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Kombiner 15x og -2x for at få 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Tilføj 3 og 4 for at få 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Subtraher 6x^{2} fra begge sider.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Subtraher 7 fra begge sider.

$$13x-6x^{2}=-12-7$$

Subtraher 7 fra -12 for at få -19.

$$13x-6x^{2}=-19$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-6x^{2}+13x=-19$$

Divider begge sider med -6.

$$\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}$$

Division med -6 annullerer multiplikationen med -6.

$$x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}$$

Divider 13 med -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}$$

Divider -19 med -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}$$

Divider -\frac{13}{6}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{13}{12}. Adder derefter kvadratet af -\frac{13}{12} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{13}{12} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}$$

Føj \frac{19}{6} til \frac{169}{144} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}$$

Adder \frac{13}{12} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$