Løs t^2-90t+2000=0

$$t ^ { 2 } - 90 t + 2000 = 0$$

Løs for t

$$t=40$$

$$t=50$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$t^{2}-90t+2000=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -90 med b og 2000 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 2000}}{2}$$

Kvadrér -90.

$$t=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 2000}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 2000.

$$t=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-8000}}{2}$$

Adder 8100 til -8000.

$$t=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{100}}{2}$$

Tag kvadratroden af 100.

$$t=\frac{-\left(-90\right)±10}{2}$$

Det modsatte af -90 er 90.

$$t=\frac{90±10}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, t=\frac{90±10}{2} når ± er plus. Adder 90 til 10.

$$t=\frac{100}{2}$$

Divider 100 med 2.

$$t=50$$

Nu skal du løse ligningen, t=\frac{90±10}{2} når ± er minus. Subtraher 10 fra 90.

$$t=\frac{80}{2}$$

Divider 80 med 2.

$$t=40$$

Ligningen er nu løst.

$$t=50 t=40$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$t^{2}-90t+2000=0$$

Subtraher 2000 fra begge sider af ligningen.

$$t^{2}-90t+2000-2000=-2000$$

Hvis 2000 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$t^{2}-90t=-2000$$

Divider -90, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -45. Adder derefter kvadratet af -45 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$t^{2}-90t+\left(-45\right)^{2}=-2000+\left(-45\right)^{2}$$

Kvadrér -45.

$$t^{2}-90t+2025=-2000+2025$$

Adder -2000 til 2025.

$$t^{2}-90t+2025=25$$

Faktor t^{2}-90t+2025. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(t-45\right)^{2}=25$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(t-45\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Forenkling.

$$t-45=5 t-45=-5$$

Adder 45 på begge sider af ligningen.

$$t=50 t=40$$