Løs r^2-22r-7=0

$$r ^ { 2 } - 22 r - 7 = 0$$

Løs for r

$$r=8\sqrt{2}+11\approx 22,313708499$$

$$r=11-8\sqrt{2}\approx -0,313708499$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$r^{2}-22r-7=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -22 med b og -7 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

Kvadrér -22.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\left(-7\right)}}{2}$$

Multiplicer -4 gange -7.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484+28}}{2}$$

Adder 484 til 28.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{512}}{2}$$

Tag kvadratroden af 512.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±16\sqrt{2}}{2}$$

Det modsatte af -22 er 22.

$$r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2} når ± er plus. Adder 22 til 16\sqrt{2}.

$$r=\frac{16\sqrt{2}+22}{2}$$

Divider 22+16\sqrt{2} med 2.

$$r=8\sqrt{2}+11$$

Nu skal du løse ligningen, r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2} når ± er minus. Subtraher 16\sqrt{2} fra 22.

$$r=\frac{22-16\sqrt{2}}{2}$$

Divider 22-16\sqrt{2} med 2.

$$r=11-8\sqrt{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$r^{2}-22r-7=0$$

Adder 7 på begge sider af ligningen.

$$r^{2}-22r-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Hvis -7 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$r^{2}-22r=-\left(-7\right)$$

Subtraher -7 fra 0.

$$r^{2}-22r=7$$

Divider -22, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -11. Adder derefter kvadratet af -11 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$r^{2}-22r+\left(-11\right)^{2}=7+\left(-11\right)^{2}$$

Kvadrér -11.

$$r^{2}-22r+121=7+121$$

Adder 7 til 121.

$$r^{2}-22r+121=128$$

Faktor r^{2}-22r+121. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(r-11\right)^{2}=128$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(r-11\right)^{2}}=\sqrt{128}$$

Forenkling.

$$r-11=8\sqrt{2} r-11=-8\sqrt{2}$$

Adder 11 på begge sider af ligningen.

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$