Løs p^-2+11p^-1-12=0

$$p ^ { - 2 } + 11 p ^ { - 1 } - 12 = 0$$

Løs for p

$$p=1$$

$$p=-\frac{1}{12}\approx -0,083333333$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Skift rækkefølge for leddene.

$$-12+11\times \frac{1}{p}+p^{-2}=0$$

Variablen p må ikke være lig med 0, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med p.

$$p\left(-12\right)+11\times 1+pp^{-2}=0$$

Hvis du vil gange potenser for den samme base, skal du tilføje deres eksponenter. Tilføj 1 og -2 for at få -1.

$$p\left(-12\right)+11\times 1+p^{-1}=0$$

Multiplicer 11 og 1 for at få 11.

$$p\left(-12\right)+11+p^{-1}=0$$

Skift rækkefølge for leddene.

$$-12p+11+\frac{1}{p}=0$$

Variablen p må ikke være lig med 0, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med p.

$$-12pp+p\times 11+1=0$$

Multiplicer p og p for at få p^{2}.

$$-12p^{2}+p\times 11+1=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -12p^{2}+ap+bp+1. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Løsningen er det par, der får summen 11.

$$a=12 b=-1$$

Omskriv -12p^{2}+11p+1 som \left(-12p^{2}+12p\right)+\left(-p+1\right).

$$\left(-12p^{2}+12p\right)+\left(-p+1\right)$$

Udfaktoriser 12p i -12p^{2}+12p.

$$12p\left(-p+1\right)-p+1$$

Udfaktoriser fællesleddet -p+1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-p+1\right)\left(12p+1\right)$$

Løs -p+1=0 og 12p+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$p=1 p=-\frac{1}{12}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Skift rækkefølge for leddene.

$$-12+11\times \frac{1}{p}+p^{-2}=0$$

Variablen p må ikke være lig med 0, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med p.

$$p\left(-12\right)+11\times 1+pp^{-2}=0$$

Hvis du vil gange potenser for den samme base, skal du tilføje deres eksponenter. Tilføj 1 og -2 for at få -1.

$$p\left(-12\right)+11\times 1+p^{-1}=0$$

Multiplicer 11 og 1 for at få 11.

$$p\left(-12\right)+11+p^{-1}=0$$

Skift rækkefølge for leddene.

$$-12p+11+\frac{1}{p}=0$$

Variablen p må ikke være lig med 0, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med p.

$$-12pp+p\times 11+1=0$$

Multiplicer p og p for at få p^{2}.

$$-12p^{2}+p\times 11+1=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-12p^{2}+11p+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -12 med a, 11 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-12\right)}}{2\left(-12\right)}$$

Kvadrér 11.

$$p=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-12\right)}}{2\left(-12\right)}$$

Multiplicer -4 gange -12.

$$p=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-12\right)}$$

Adder 121 til 48.

$$p=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-12\right)}$$

Tag kvadratroden af 169.

$$p=\frac{-11±13}{2\left(-12\right)}$$

Multiplicer 2 gange -12.

$$p=\frac{-11±13}{-24}$$

Nu skal du løse ligningen, p=\frac{-11±13}{-24} når ± er plus. Adder -11 til 13.

$$p=\frac{2}{-24}$$

Reducer fraktionen \frac{2}{-24} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$p=-\frac{1}{12}$$

Nu skal du løse ligningen, p=\frac{-11±13}{-24} når ± er minus. Subtraher 13 fra -11.

$$p=-\frac{24}{-24}$$

Divider -24 med -24.

$$p=1$$

Ligningen er nu løst.

$$p=-\frac{1}{12} p=1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Tilføj 12 på begge sider. Ethvert tal plus nul giver tallet selv.

$$p^{-2}+11p^{-1}=12$$

Skift rækkefølge for leddene.

$$11\times \frac{1}{p}+p^{-2}=12$$

Variablen p må ikke være lig med 0, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med p.

$$11\times 1+pp^{-2}=12p$$

Hvis du vil gange potenser for den samme base, skal du tilføje deres eksponenter. Tilføj 1 og -2 for at få -1.

$$11\times 1+p^{-1}=12p$$

Multiplicer 11 og 1 for at få 11.

$$11+p^{-1}=12p$$

Subtraher 12p fra begge sider.

$$11+p^{-1}-12p=0$$

Subtraher 11 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$p^{-1}-12p=-11$$

Skift rækkefølge for leddene.

$$-12p+\frac{1}{p}=-11$$

Variablen p må ikke være lig med 0, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med p.

$$-12pp+1=-11p$$

Multiplicer p og p for at få p^{2}.

$$-12p^{2}+1=-11p$$

Tilføj 11p på begge sider.

$$-12p^{2}+1+11p=0$$

Subtraher 1 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$-12p^{2}+11p=-1$$

Divider begge sider med -12.

$$\frac{-12p^{2}+11p}{-12}=-\frac{1}{-12}$$

Division med -12 annullerer multiplikationen med -12.

$$p^{2}+\frac{11}{-12}p=-\frac{1}{-12}$$

Divider 11 med -12.

$$p^{2}-\frac{11}{12}p=-\frac{1}{-12}$$

Divider -1 med -12.

$$p^{2}-\frac{11}{12}p=\frac{1}{12}$$

Divider -\frac{11}{12}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{11}{24}. Adder derefter kvadratet af -\frac{11}{24} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$p^{2}-\frac{11}{12}p+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{1}{12}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{11}{24} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$p^{2}-\frac{11}{12}p+\frac{121}{576}=\frac{1}{12}+\frac{121}{576}$$

Føj \frac{1}{12} til \frac{121}{576} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$p^{2}-\frac{11}{12}p+\frac{121}{576}=\frac{169}{576}$$

Faktor p^{2}-\frac{11}{12}p+\frac{121}{576}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(p-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{169}{576}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(p-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{576}}$$

Forenkling.

$$p-\frac{11}{24}=\frac{13}{24} p-\frac{11}{24}=-\frac{13}{24}$$

Adder \frac{11}{24} på begge sider af ligningen.

$$p=1 p=-\frac{1}{12}$$