Løs n^2-n-210=0

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

Løs for n

$$n=-14$$

$$n=15$$

Vejledning i faktorisering

Faktor n^{2}-n-210 ved hjælp af formel n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) for at løse ligningen. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-1 ab=-210$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Løsningen er det par, der får summen -1.

$$a=-15 b=14$$

Omskriv det faktoriserede udtryk \left(n+a\right)\left(n+b\right) ved hjælp af de opnåede værdier.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Løs n-15=0 og n+14=0 for at finde Lignings løsninger.

$$n=15 n=-14$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som n^{2}+an+bn-210. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Løsningen er det par, der får summen -1.

$$a=-15 b=14$$

Omskriv n^{2}-n-210 som \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

Udn i den første og 14 i den anden gruppe.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet n-15 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Løs n-15=0 og n+14=0 for at finde Lignings løsninger.

$$n=15 n=-14$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$n^{2}-n-210=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -1 med b og -210 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

Multiplicer -4 gange -210.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

Adder 1 til 840.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

Tag kvadratroden af 841.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

Det modsatte af -1 er 1.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{1±29}{2} når ± er plus. Adder 1 til 29.

$$n=\frac{30}{2}$$

Divider 30 med 2.

$$n=15$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{1±29}{2} når ± er minus. Subtraher 29 fra 1.

$$n=-\frac{28}{2}$$

Divider -28 med 2.

$$n=-14$$

Ligningen er nu løst.

$$n=15 n=-14$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$n^{2}-n-210=0$$

Adder 210 på begge sider af ligningen.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

Hvis -210 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

Subtraher -210 fra 0.

$$n^{2}-n=210$$

Divider -1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

Adder 210 til \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

Faktor n^{2}-n+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

Forenkling.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

Adder \frac{1}{2} på begge sider af ligningen.

$$n=15 n=-14$$