Løs n^2-4019n+2009^2leq0

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } \leq 0$$

Løs for n

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Beregn 2009 til potensen af 2, og få 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081\leq 0$$

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 1 med a, -4019 med b, og 4036081 med c i den kvadratiske formel.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 1\times 4036081}}{2}$$

Lav beregningerne.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

Løs ligningen n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} når ± er plus, og når ± er minus.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$\left(n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right)\left(n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\right)\leq 0$$

For at produktet kan blive ≤0, skal en af værdierne n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} og n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2} være ≥0, og den anden skal være ≤0. Overvej sagen når n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 og n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0.

$$n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0$$

Dette er falsk for alle n.

$$n\in \emptyset$$

Overvej sagen når n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0 og n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0.

$$n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0 n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er n\in \left[\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right].

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$