Løs n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

Løs for n

$$n=-4$$

$$n=15$$

Vejledning i faktorisering

Faktor n^{2}-11n-60 ved hjælp af formel n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) for at løse ligningen. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-11 ab=-60$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Løsningen er det par, der får summen -11.

$$a=-15 b=4$$

Omskriv det faktoriserede udtryk \left(n+a\right)\left(n+b\right) ved hjælp af de opnåede værdier.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Løs n-15=0 og n+4=0 for at finde Lignings løsninger.

$$n=15 n=-4$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som n^{2}+an+bn-60. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Løsningen er det par, der får summen -11.

$$a=-15 b=4$$

Omskriv n^{2}-11n-60 som \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

Udn i den første og 4 i den anden gruppe.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet n-15 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Løs n-15=0 og n+4=0 for at finde Lignings løsninger.

$$n=15 n=-4$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -11 med b og -60 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Kvadrér -11.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

Multiplicer -4 gange -60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

Adder 121 til 240.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Tag kvadratroden af 361.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

Det modsatte af -11 er 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{11±19}{2} når ± er plus. Adder 11 til 19.

$$n=\frac{30}{2}$$

Divider 30 med 2.

$$n=15$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{11±19}{2} når ± er minus. Subtraher 19 fra 11.

$$n=-\frac{8}{2}$$

Divider -8 med 2.

$$n=-4$$

Ligningen er nu løst.

$$n=15 n=-4$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Adder 60 på begge sider af ligningen.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Hvis -60 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

Subtraher -60 fra 0.

$$n^{2}-11n=60$$

Divider -11, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{11}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{11}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{11}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Adder 60 til \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Faktor n^{2}-11n+\frac{121}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Forenkling.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Adder \frac{11}{2} på begge sider af ligningen.

$$n=15 n=-4$$