Løs n^2-sqrt{3}n+1=0

$$n ^ { 2 } - \sqrt { 3 } n + 1 = 0$$

Løs for n

$$n=\frac{\sqrt{3}+i}{2}\approx 0,866025404+0,5i$$

$$n=\frac{\sqrt{3}-i}{2}\approx 0,866025404-0,5i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Skift rækkefølge for leddene.

$$n^{2}-\sqrt{3}n+1=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -\sqrt{3} med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-\sqrt{3}\right)±\sqrt{\left(-\sqrt{3}\right)^{2}-4}}{2}$$

Kvadrér -\sqrt{3}.

$$n=\frac{-\left(-\sqrt{3}\right)±\sqrt{3-4}}{2}$$

Adder 3 til -4.

$$n=\frac{-\left(-\sqrt{3}\right)±\sqrt{-1}}{2}$$

Tag kvadratroden af -1.

$$n=\frac{-\left(-\sqrt{3}\right)±i}{2}$$

Det modsatte af -\sqrt{3} er \sqrt{3}.

$$n=\frac{\sqrt{3}±i}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{\sqrt{3}±i}{2} når ± er plus. Adder \sqrt{3} til i.

$$n=\frac{\sqrt{3}+i}{2}$$

Divider \sqrt{3}+i med 2.

$$n=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{\sqrt{3}±i}{2} når ± er minus. Subtraher i fra \sqrt{3}.

$$n=\frac{\sqrt{3}-i}{2}$$

Divider \sqrt{3}-i med 2.

$$n=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$$

Ligningen er nu løst.

$$n=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i n=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Subtraher 1 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$n^{2}-\sqrt{3}n=-1$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n=-1$$

Divider -\sqrt{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{\sqrt{3}}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{\sqrt{3}}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Kvadrér -\frac{\sqrt{3}}{2}.

$$n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n+\frac{3}{4}=-1+\frac{3}{4}$$

Adder -1 til \frac{3}{4}.

$$n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n+\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}$$

Faktor n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n+\frac{3}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(n-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(n-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

Forenkling.

$$n-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}i n-\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}i$$

Adder \frac{\sqrt{3}}{2} på begge sider af ligningen.

$$n=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i n=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$$