Løs f ( x ) = ∫ (from a to b) of 2x^3+7 wrt x

$$f ( x ) = \int _ { a } ^ { b } 2 x ^ { 3 } + 7 d x$$

Evaluer

$$\frac{-a\left(a^{3}+14\right)+b^{4}+14b}{2}$$

Løsningsvejledning

Evaluer den ubestemte integral først.

$$\int 2x^{3}+7\mathrm{d}x$$

Integrer summen ord for ord.

$$\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int 7\mathrm{d}x$$

Udfaktoriser konstanten i hver af ordene.

$$2\int x^{3}\mathrm{d}x+\int 7\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x^{3}\mathrm{d}x med \frac{x^{4}}{4}. Multiplicer 2 gange \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{2}+\int 7\mathrm{d}x$$

Find integralen af 7 ved hjælp af tabellen med almindelige integraler for \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{4}}{2}+7x$$

Den definitive integral er antiafledningen af udtrykket evalueret ved den øvre integrationsgrænse minus antiafledningen evalueret ved den nedre integrationsgrænse.

$$\frac{b^{4}}{2}+7b-\left(\frac{a^{4}}{2}+7a\right)$$

Forenkling.

$$\frac{b^{4}}{2}+7b-\frac{a\left(a^{3}+14\right)}{2}$$

Differentier w.r.t. a

$$-2a^{3}-7$$