Løs f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-t)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - t ) d t$$

Evaluer

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Løsningsvejledning

Evaluer den ubestemte integral først.

$$\int t^{2}-t\mathrm{d}t$$

Integrer summen ord for ord.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -t\mathrm{d}t$$

Udfaktoriser konstanten i hver af ordene.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-\int t\mathrm{d}t$$

\int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int t^{2}\mathrm{d}t med \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\int t\mathrm{d}t$$

\int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int t\mathrm{d}t med \frac{t^{2}}{2}. Multiplicer -1 gange \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}$$

Den definitive integral er antiafledningen af udtrykket evalueret ved den øvre integrationsgrænse minus antiafledningen evalueret ved den nedre integrationsgrænse.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-\left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{0^{2}}{2}\right)$$

Forenkling.

$$-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Differentier w.r.t. x

$$x\left(x-1\right)$$