Løs ex^2+3x+4=0

$$e x ^ { 2 } + 3 x + 4 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-3+i\sqrt{16e-9}}{2e}\approx -0,551819162+1,080283934i$$

$$x=-\frac{3+i\sqrt{16e-9}}{2e}\approx -0,551819162-1,080283934i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$ex^{2}+3x+4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat e med a, 3 med b og 4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4e\times 4}}{2e}$$

Kvadrér 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4e\times 4}}{2e}$$

Multiplicer -4 gange e.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+\left(-4e\right)\times 4}}{2e}$$

Multiplicer -4e gange 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-16e}}{2e}$$

Tag kvadratroden af 9-16e.

$$x=\frac{-3±i\sqrt{-\left(9-16e\right)}}{2e}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±i\sqrt{-\left(9-16e\right)}}{2e} når ± er plus. Adder -3 til i\sqrt{-\left(9-16e\right)}.

$$x=\frac{-3+i\sqrt{16e-9}}{2e}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±i\sqrt{-\left(9-16e\right)}}{2e} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{-\left(9-16e\right)} fra -3.

$$x=\frac{-i\sqrt{16e-9}-3}{2e}$$

Divider -3-i\sqrt{-9+16e} med 2e.

$$x=-\frac{3+i\sqrt{16e-9}}{2e}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-3+i\sqrt{16e-9}}{2e} x=-\frac{3+i\sqrt{16e-9}}{2e}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$ex^{2}+3x+4=0$$

Subtraher 4 fra begge sider af ligningen.

$$ex^{2}+3x+4-4=-4$$

Hvis 4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$ex^{2}+3x=-4$$

Divider begge sider med e.

$$\frac{ex^{2}+3x}{e}=-\frac{4}{e}$$

Division med e annullerer multiplikationen med e.

$$x^{2}+\frac{3}{e}x=-\frac{4}{e}$$

Divider \frac{3}{e}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{2e}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{2e} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{e}x+\left(\frac{3}{2e}\right)^{2}=-\frac{4}{e}+\left(\frac{3}{2e}\right)^{2}$$

Kvadrér \frac{3}{2e}.

$$x^{2}+\frac{3}{e}x+\frac{9}{4e^{2}}=-\frac{4}{e}+\frac{9}{4e^{2}}$$

Adder -\frac{4}{e} til \frac{9}{4e^{2}}.

$$x^{2}+\frac{3}{e}x+\frac{9}{4e^{2}}=\frac{\frac{9}{4}-4e}{e^{2}}$$

Faktor x^{2}+\frac{3}{e}x+\frac{9}{4e^{2}}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{2e}\right)^{2}=\frac{\frac{9}{4}-4e}{e^{2}}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2e}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{\frac{9}{4}-4e}{e^{2}}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{2e}=\frac{i\sqrt{-\left(9-16e\right)}}{2e} x+\frac{3}{2e}=-\frac{i\sqrt{16e-9}}{2e}$$

Subtraher \frac{3}{2e} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-3+i\sqrt{16e-9}}{2e} x=-\frac{3+i\sqrt{16e-9}}{2e}$$