Løs a^2-68a+225leq0

$$a ^ { 2 } - 68 a + 225 \leq 0$$

Løs for a

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$a^{2}-68a+225=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 1 med a, -68 med b, og 225 med c i den kvadratiske formel.

$$a=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{\left(-68\right)^{2}-4\times 1\times 225}}{2}$$

Lav beregningerne.

$$a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2}$$

Løs ligningen a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2} når ± er plus, og når ± er minus.

$$a=7\sqrt{19}+34 a=34-7\sqrt{19}$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$\left(a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\right)\left(a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\right)\leq 0$$

For at produktet kan blive ≤0, skal en af værdierne a-\left(7\sqrt{19}+34\right) og a-\left(34-7\sqrt{19}\right) være ≥0, og den anden skal være ≤0. Overvej sagen når a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 og a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0.

$$a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0$$

Dette er falsk for alle a.

$$a\in \emptyset$$

Overvej sagen når a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0 og a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0.

$$a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0 a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er a\in \left[34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\right].

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$