Løs 9y^2-12y+2=0

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

Løs for y

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1,138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0,195262146$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 9 med a, -12 med b og 2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Kvadrér -12.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Multiplicer -4 gange 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

Multiplicer -36 gange 2.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

Adder 144 til -72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

Tag kvadratroden af 72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Det modsatte af -12 er 12.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Multiplicer 2 gange 9.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} når ± er plus. Adder 12 til 6\sqrt{2}.

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

Divider 12+6\sqrt{2} med 18.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} når ± er minus. Subtraher 6\sqrt{2} fra 12.

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

Divider 12-6\sqrt{2} med 18.

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Subtraher 2 fra begge sider af ligningen.

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

Hvis 2 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$9y^{2}-12y=-2$$

Divider begge sider med 9.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

Division med 9 annullerer multiplikationen med 9.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

Reducer fraktionen \frac{-12}{9} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

Divider -\frac{4}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{2}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{2}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{2}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

Føj -\frac{2}{9} til \frac{4}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

Faktor y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

Forenkling.

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Adder \frac{2}{3} på begge sider af ligningen.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$