Løs 9x^2-5x+4=0

$$9 x ^ { 2 } - 5 x + 4 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18}\approx 0,277777778+0,606039562i$$

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}\approx 0,277777778-0,606039562i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$9x^{2}-5x+4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 9 med a, -5 med b og 4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Kvadrér -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Multiplicer -4 gange 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-36\times 4}}{2\times 9}$$

Multiplicer -36 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-144}}{2\times 9}$$

Adder 25 til -144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-119}}{2\times 9}$$

Tag kvadratroden af -119.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{119}i}{2\times 9}$$

Det modsatte af -5 er 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{119}i}{2\times 9}$$

Multiplicer 2 gange 9.

$$x=\frac{5±\sqrt{119}i}{18}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±\sqrt{119}i}{18} når ± er plus. Adder 5 til i\sqrt{119}.

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±\sqrt{119}i}{18} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{119} fra 5.

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18} x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$9x^{2}-5x+4=0$$

Subtraher 4 fra begge sider af ligningen.

$$9x^{2}-5x+4-4=-4$$

Hvis 4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$9x^{2}-5x=-4$$

Divider begge sider med 9.

$$\frac{9x^{2}-5x}{9}=-\frac{4}{9}$$

Division med 9 annullerer multiplikationen med 9.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x=-\frac{4}{9}$$

Divider -\frac{5}{9}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{18}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{18} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\left(-\frac{5}{18}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{5}{18}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{18} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=-\frac{4}{9}+\frac{25}{324}$$

Føj -\frac{4}{9} til \frac{25}{324} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=-\frac{119}{324}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{18}\right)^{2}=-\frac{119}{324}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{18}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{324}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{18}=\frac{\sqrt{119}i}{18} x-\frac{5}{18}=-\frac{\sqrt{119}i}{18}$$

Adder \frac{5}{18} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18} x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}$$