Løs 9x^2-245x+500=0

$$9 x ^ { 2 } - 245 x + 500 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{20}{9} = 2\frac{2}{9} \approx 2,222222222$$

$$x=25$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$9x^{2}-245x+500=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 9 med a, -245 med b og 500 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-245\right)±\sqrt{\left(-245\right)^{2}-4\times 9\times 500}}{2\times 9}$$

Kvadrér -245.

$$x=\frac{-\left(-245\right)±\sqrt{60025-4\times 9\times 500}}{2\times 9}$$

Multiplicer -4 gange 9.

$$x=\frac{-\left(-245\right)±\sqrt{60025-36\times 500}}{2\times 9}$$

Multiplicer -36 gange 500.

$$x=\frac{-\left(-245\right)±\sqrt{60025-18000}}{2\times 9}$$

Adder 60025 til -18000.

$$x=\frac{-\left(-245\right)±\sqrt{42025}}{2\times 9}$$

Tag kvadratroden af 42025.

$$x=\frac{-\left(-245\right)±205}{2\times 9}$$

Det modsatte af -245 er 245.

$$x=\frac{245±205}{2\times 9}$$

Multiplicer 2 gange 9.

$$x=\frac{245±205}{18}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{245±205}{18} når ± er plus. Adder 245 til 205.

$$x=\frac{450}{18}$$

Divider 450 med 18.

$$x=25$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{245±205}{18} når ± er minus. Subtraher 205 fra 245.

$$x=\frac{40}{18}$$

Reducer fraktionen \frac{40}{18} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{20}{9}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=25 x=\frac{20}{9}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$9x^{2}-245x+500=0$$

Subtraher 500 fra begge sider af ligningen.

$$9x^{2}-245x+500-500=-500$$

Hvis 500 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$9x^{2}-245x=-500$$

Divider begge sider med 9.

$$\frac{9x^{2}-245x}{9}=-\frac{500}{9}$$

Division med 9 annullerer multiplikationen med 9.

$$x^{2}-\frac{245}{9}x=-\frac{500}{9}$$

Divider -\frac{245}{9}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{245}{18}. Adder derefter kvadratet af -\frac{245}{18} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{245}{9}x+\left(-\frac{245}{18}\right)^{2}=-\frac{500}{9}+\left(-\frac{245}{18}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{245}{18} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{245}{9}x+\frac{60025}{324}=-\frac{500}{9}+\frac{60025}{324}$$

Føj -\frac{500}{9} til \frac{60025}{324} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{245}{9}x+\frac{60025}{324}=\frac{42025}{324}$$

Faktor x^{2}-\frac{245}{9}x+\frac{60025}{324}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{245}{18}\right)^{2}=\frac{42025}{324}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{245}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{42025}{324}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{245}{18}=\frac{205}{18} x-\frac{245}{18}=-\frac{205}{18}$$

Adder \frac{245}{18} på begge sider af ligningen.

$$x=25 x=\frac{20}{9}$$