Løs 9x^2-22x+4=0

$$9 x ^ { 2 } - 22 x + 4 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{85} + 11}{9} \approx 2,246616051$$

$$x=\frac{11-\sqrt{85}}{9}\approx 0,197828394$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$9x^{2}-22x+4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 9 med a, -22 med b og 4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Kvadrér -22.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Multiplicer -4 gange 9.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-36\times 4}}{2\times 9}$$

Multiplicer -36 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-144}}{2\times 9}$$

Adder 484 til -144.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{340}}{2\times 9}$$

Tag kvadratroden af 340.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±2\sqrt{85}}{2\times 9}$$

Det modsatte af -22 er 22.

$$x=\frac{22±2\sqrt{85}}{2\times 9}$$

Multiplicer 2 gange 9.

$$x=\frac{22±2\sqrt{85}}{18}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{22±2\sqrt{85}}{18} når ± er plus. Adder 22 til 2\sqrt{85}.

$$x=\frac{2\sqrt{85}+22}{18}$$

Divider 22+2\sqrt{85} med 18.

$$x=\frac{\sqrt{85}+11}{9}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{22±2\sqrt{85}}{18} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{85} fra 22.

$$x=\frac{22-2\sqrt{85}}{18}$$

Divider 22-2\sqrt{85} med 18.

$$x=\frac{11-\sqrt{85}}{9}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{85}+11}{9} x=\frac{11-\sqrt{85}}{9}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$9x^{2}-22x+4=0$$

Subtraher 4 fra begge sider af ligningen.

$$9x^{2}-22x+4-4=-4$$

Hvis 4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$9x^{2}-22x=-4$$

Divider begge sider med 9.

$$\frac{9x^{2}-22x}{9}=-\frac{4}{9}$$

Division med 9 annullerer multiplikationen med 9.

$$x^{2}-\frac{22}{9}x=-\frac{4}{9}$$

Divider -\frac{22}{9}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{11}{9}. Adder derefter kvadratet af -\frac{11}{9} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{22}{9}x+\left(-\frac{11}{9}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{11}{9}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{11}{9} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{22}{9}x+\frac{121}{81}=-\frac{4}{9}+\frac{121}{81}$$

Føj -\frac{4}{9} til \frac{121}{81} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{22}{9}x+\frac{121}{81}=\frac{85}{81}$$

Faktor x^{2}-\frac{22}{9}x+\frac{121}{81}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{11}{9}\right)^{2}=\frac{85}{81}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{81}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{11}{9}=\frac{\sqrt{85}}{9} x-\frac{11}{9}=-\frac{\sqrt{85}}{9}$$

Adder \frac{11}{9} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{85}+11}{9} x=\frac{11-\sqrt{85}}{9}$$