Løs 9x^2-155x-500=0

$$9 x ^ { 2 } - 155 x - 500 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{25}{9} = -2\frac{7}{9} \approx -2,777777778$$

$$x=20$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 9x^{2}+ax+bx-500. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-155 ab=9\left(-500\right)=-4500$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -4500.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

Løsningen er det par, der får summen -155.

$$a=-180 b=25$$

Omskriv 9x^{2}-155x-500 som \left(9x^{2}-180x\right)+\left(25x-500\right).

$$\left(9x^{2}-180x\right)+\left(25x-500\right)$$

Ud9x i den første og 25 i den anden gruppe.

$$9x\left(x-20\right)+25\left(x-20\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-20 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-20\right)\left(9x+25\right)$$

Løs x-20=0 og 9x+25=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=20 x=-\frac{25}{9}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$9x^{2}-155x-500=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 9 med a, -155 med b og -500 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{\left(-155\right)^{2}-4\times 9\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrér -155.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025-4\times 9\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicer -4 gange 9.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025-36\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicer -36 gange -500.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025+18000}}{2\times 9}$$

Adder 24025 til 18000.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{42025}}{2\times 9}$$

Tag kvadratroden af 42025.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±205}{2\times 9}$$

Det modsatte af -155 er 155.

$$x=\frac{155±205}{2\times 9}$$

Multiplicer 2 gange 9.

$$x=\frac{155±205}{18}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{155±205}{18} når ± er plus. Adder 155 til 205.

$$x=\frac{360}{18}$$

Divider 360 med 18.

$$x=20$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{155±205}{18} når ± er minus. Subtraher 205 fra 155.

$$x=-\frac{50}{18}$$

Reducer fraktionen \frac{-50}{18} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{25}{9}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=20 x=-\frac{25}{9}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$9x^{2}-155x-500=0$$

Adder 500 på begge sider af ligningen.

$$9x^{2}-155x-500-\left(-500\right)=-\left(-500\right)$$

Hvis -500 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$9x^{2}-155x=-\left(-500\right)$$

Subtraher -500 fra 0.

$$9x^{2}-155x=500$$

Divider begge sider med 9.

$$\frac{9x^{2}-155x}{9}=\frac{500}{9}$$

Division med 9 annullerer multiplikationen med 9.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x=\frac{500}{9}$$

Divider -\frac{155}{9}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{155}{18}. Adder derefter kvadratet af -\frac{155}{18} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x+\left(-\frac{155}{18}\right)^{2}=\frac{500}{9}+\left(-\frac{155}{18}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{155}{18} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x+\frac{24025}{324}=\frac{500}{9}+\frac{24025}{324}$$

Føj \frac{500}{9} til \frac{24025}{324} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x+\frac{24025}{324}=\frac{42025}{324}$$

Faktor x^{2}-\frac{155}{9}x+\frac{24025}{324}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{155}{18}\right)^{2}=\frac{42025}{324}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{155}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{42025}{324}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{155}{18}=\frac{205}{18} x-\frac{155}{18}=-\frac{205}{18}$$

Adder \frac{155}{18} på begge sider af ligningen.

$$x=20 x=-\frac{25}{9}$$