Løs 9x^2-14x-14=0

$$9 x ^ { 2 } - 14 x - 14 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{5 \sqrt{7} + 7}{9} \approx 2,247639617$$

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}\approx -0,692084062$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 9 med a, -14 med b og -14 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrér -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicer -4 gange 9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-36\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicer -36 gange -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+504}}{2\times 9}$$

Adder 196 til 504.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{700}}{2\times 9}$$

Tag kvadratroden af 700.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Det modsatte af -14 er 14.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Multiplicer 2 gange 9.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18} når ± er plus. Adder 14 til 10\sqrt{7}.

$$x=\frac{10\sqrt{7}+14}{18}$$

Divider 14+10\sqrt{7} med 18.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18} når ± er minus. Subtraher 10\sqrt{7} fra 14.

$$x=\frac{14-10\sqrt{7}}{18}$$

Divider 14-10\sqrt{7} med 18.

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

Adder 14 på begge sider af ligningen.

$$9x^{2}-14x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Hvis -14 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$9x^{2}-14x=-\left(-14\right)$$

Subtraher -14 fra 0.

$$9x^{2}-14x=14$$

Divider begge sider med 9.

$$\frac{9x^{2}-14x}{9}=\frac{14}{9}$$

Division med 9 annullerer multiplikationen med 9.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x=\frac{14}{9}$$

Divider -\frac{14}{9}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{9}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{9} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{14}{9}+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{9} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{14}{9}+\frac{49}{81}$$

Føj \frac{14}{9} til \frac{49}{81} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{175}{81}$$

Faktor x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{175}{81}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{175}{81}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{7}{9}=\frac{5\sqrt{7}}{9} x-\frac{7}{9}=-\frac{5\sqrt{7}}{9}$$

Adder \frac{7}{9} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$