Løs 9x^2-12x-4=0

$$9 x ^ { 2 } - 12 x - 4 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{2 \sqrt{2} + 2}{3} \approx 1,609475708$$

$$x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}\approx -0,276142375$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$9x^{2}-12x-4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 9 med a, -12 med b og -4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrér -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicer -4 gange 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicer -36 gange -4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+144}}{2\times 9}$$

Adder 144 til 144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{288}}{2\times 9}$$

Tag kvadratroden af 288.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±12\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Det modsatte af -12 er 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Multiplicer 2 gange 9.

$$x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18} når ± er plus. Adder 12 til 12\sqrt{2}.

$$x=\frac{12\sqrt{2}+12}{18}$$

Divider 12+12\sqrt{2} med 18.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18} når ± er minus. Subtraher 12\sqrt{2} fra 12.

$$x=\frac{12-12\sqrt{2}}{18}$$

Divider 12-12\sqrt{2} med 18.

$$x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3} x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$9x^{2}-12x-4=0$$

Adder 4 på begge sider af ligningen.

$$9x^{2}-12x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Hvis -4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$9x^{2}-12x=-\left(-4\right)$$

Subtraher -4 fra 0.

$$9x^{2}-12x=4$$

Divider begge sider med 9.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=\frac{4}{9}$$

Division med 9 annullerer multiplikationen med 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=\frac{4}{9}$$

Reducer fraktionen \frac{-12}{9} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{4}{9}$$

Divider -\frac{4}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{2}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{2}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{2}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{4+4}{9}$$

Føj \frac{4}{9} til \frac{4}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{8}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{8}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8}{9}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

Adder \frac{2}{3} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3} x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$